102 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



En exprimant que la tangente à la conique (C 2B ) vient couper les 

 coniquos (C 3B _ ( ) et (C 2B+1 ) en des points qui sont définis respectivement 

 par les valeurs t 2n _ { et t in+K des paramètres t, on sera conduit aux deux 

 équations suivantes : 



A !n _,A 2n ( 1 — *!;„_,) (i — q„) 

 (•4) { 



Aj B +i A. 2B (î *2»+l) (' — '2») 



B 2n+1 B.„(i + iij B+ ,) (1+ £§„) + 4C 2 „ +1 C,„«,„(î„ + | = o. 



Ces équations se résolvent très facilement par l'emploi de fonctions 

 elliptiques de même module. On n'a qu'à poser 



( A„_! A n = 1 + k sn s a„_,. 

 (i5) B„_ 1 B B =i-Asn* a „_ 1 , 



( C„_, C„— cnoc B _, dn« B _,; 



, )6 ^ [ti=\fksa(ùi ..., t n — sfk s n &>„_„ 



! <■>„— ■«„_,= «„, 



£ étant le module des fonctions elliptiques et les a,- étant des constantes 

 arbitraires. Si l'on veut obtenir les sommets de la ligne brisée et les points 

 de contact de ses côtés avec les lignes de rang pair, on aura donc 



(. «m-t-i= A 2n+ , (1 — A-sn 2 w 2B ), 

 07) '1 /s*+i= i B în +,(n- k sn* <•>,„), 



-în+i = 2 C 2n+ | y k sn (o 2n ; 

 A 2n x 2B = 1 A: sn &) ÎB _j, 

 (18) j B 2B v ÎB =:i(ï4-#sn ! uj B _,), 



On prendra arbitrairement A,, B,, C,, qui ne jouent aucun rôle dans la 

 question et qu'on pourrait supposer égaux à 1, par exemple; les for- 

 mules (i5) détermineront de proche en proche toutes les coniques, qui 

 dépendront du module k et des constantes a,-. Il sera aisé de vérifier qu'elles 

 sont dans la relation géométrique signalée plus haut. 



Pour qu'il y ait fermeture de la ligne brisée, il seranécef ;aire et suffisant 

 qu'on ait 



A, B, — C, 



et 



Ci) 2p = to 



à un multiple près des périodes. Cela donnera trois conditions auxquelles 



