SÉANCE DU 17 JANVIER 1916. Io3 



devront satisfaire les constantes a,-. On les obtient sous la forme suivante : 



(] -+- k sn'stjp ) ( I -+- />' >n-2,,,_,) . . . ( 1 -+- /.' sn-a 2 ) 

 9 (1 -H k sn 2 «,,,_, ) (1 ■+- k sn-;z :/ ,_ 3 ) . . . (1 -+- A' su- a,) 



_ (1 — /. sn ! a 2p ) ( 1 — /, sn 1 x lp _ t ) . . . (1 — A"Sn*«j) 

 ~ (1 — k sn-2 2 p_, ) ( 1 — k sn*ai p _j) . . . ( 1 — /.' su 2 ot, ) 

 _cn« !p cna,p_, . . . cna 2 dna,p . ..dn« 2 

 — cn«,p_, cn« 2/J _ 3 . . . cn«, dn« 2p _, ... du a, 

 et 



(20) a, -H «j-(- «3+. . .-h a 2 p= o. 



Si ces trois relations entre les constantes sont vérifiées, on aura une suite 

 continue de polygones satisfaisant aux conditions proposées. 



Ces polygones donnent naissance à un certain nombre de relations géo- 

 métriques. Je signalerai seulement les suivantes : 



Si l'on considère l'ensemble des ip points constitués par leurs sommets ou 

 par les points de contact de leurs côtés avec la conique qu'ils enveloppent, deux 

 quelconques de ces points sont toujours conjugués par rapport à une conique 

 fixe. 



En effet, considérons l'identité 



[1 -1- X'sn ! (w„ — w,,)] (1 — A-snV.j„) (1 — A"sn 2 co„) 

 — [1 — X-sn 2 (&i n -— U„)'](l+ X-sn ! r J ,„)(i + /.sn 2 w„.) 



4- 4 Acn(to„ — (o„) dn(oj„ — &>„) siioj,, snw„ = o 



qui joue un rôle essentiel dans l'analyse précédente. 



Comme ov — co n est une constante, cette identité conduira évidemment 

 à des relations de la forme 



( 21 ) A„,„.j„j;v+B„,„7„j nl +G n , B .:„î„,= o, 



A„,„', B„ iB -, G»,»' étant des constantes qu'on trouvera aisément dans 

 chaque cas particulier. 



Par exemple, si n et n' sont impairs, il s'agira de deux sommets du poly- 

 gone ; on aura 



1 



A ""~~ A A E' + ^ s n ! (««-i + a„_, + ...+ «„■)], 



B« n = 



I 



C„ H - — - en ( «„_, + . - «„.) dn( «,_,+ . . . -1- «„.), 



en supposant n > n'. 



