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La relation (21) exprime évidemment la propriété annoncée, et nous 

 voyons que les coniques que divisent harmoniquement les différents 

 couples de points considérés admettent toutes le même triangle conjugué. 



On démontrerait de même que, si l'on considère les côtés du polygone et 

 les tangentes en chacun de ses sommets à la conique décrite par ce sommet, 

 deux quelconques de ces ip droites sont conjuguées par rapport à une conique 

 fixe. Les coniques ainsi obtenues admettent le même triangle conjugué 

 que toutes les précédentes. 



Les deux propriétés que nous venons de signaler s'étendent au cas où la 

 ligne brisée ne se ferme pas. Elles permettent de déterminer tous ses 

 sommets et tous ses côtés d'une manière univoque quand on connaît le 

 premier sommet et le premier côté. 



L'exemple qui a été l'occasion de ce travail et qui a été signalé au début 

 est, on s'en assure aisément, une des applications les plus simples de la 

 théorie générale que nous venons de développer. Je terminerai en indi- 

 quant une autre application qui donne lieu à un résultat curieux. 



Supposons que toutes les constantes a,- d'indice pair soient nulles. Alors 

 on a 



A.îi - Aj,- +1 == b 2 ,t> 2 , +1 = Li 2 ,<-j 2 ,- +1 — 1 



et toutes les coniques (C 2i+I ) se confondent avec les coniques (G 2( ). La 

 ligne brisée correspondante peut se définir comme il suit : 



D'un point de (C,) on mène une tangente à (C 2 ); du point de contact 

 de cette tangente on mène une tangente à (C 4 ), et ainsi de suite. Le côté 

 qui précède chaque sommet est tangent en ce sommet à la courbe décrite par 

 ce sommet. 



Pour que cette ligne se ferme, il faudra que son dernier côté soit tangent 

 à (C,), précisément au point qui sert de départ à la ligne brisée. Les con- 

 ditions de fermeture se réduiront ici aux suivantes : 



(22) (1 -+- I; sn 2 »,) ( 1 -t- A sn 2 at 3 ) . . . (i + A-sn 2 a,p_,) 

 = (1 — k sn 2 a,) (1 — Arsft'a,) . . . (1 — k sn 2 a 2/) _, ) 

 — cn«|Cna, ... cna. 2/ ,_, dna, dn a 3 . . . du a 2p -i, 



(23) a, -+- tx 3 -h. . . -f- a 2; ,_, = o. 



Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'un triangle. Alors, il faut faire 

 p = 3 et les équations (22) nous donnent 



sn 2 ec, -+■ sn 2 a 3 -|- sn 2 ot 5 -t- k* sn 2 «, sn 2 « 3 sn 2 a 6 = o, 

 1 + À 2 sn 2 «, i-n 2 cz 3 -j- k- Mi 2 a s s n 2 a, -f- /,'- su 2 a, sn 2 « 5 = en a, cna 3 cn« 5 dn a t dna 3 dna 6 . 



