SÉANCE DU 17 JANVIER I916. 119 



2 Sauf indication contraire, nous supposerons, dans ce qui suit, que 

 les intégrations s'étendent au champ I(s, yj). Ceci posé, remplaçons 

 dans (1) la fonction <s(x) par son expression (2) et écrivons que £(a?) 

 est holomorphe pour x = o. Nous établirons ainsi l'équivalence entre 

 l'équation (1) et le système 



(3) t{x) =/(.r) + ïj'u(.r. v)Z{y)dy; 



(4) \ fl +lfB ll (y)f(y)dv=o. (6 = 0,1,2,...,^?). 



Cela par des raisonnements déjà exposés (voir Ch. Platrieu, Comptes 

 rendus, 191 3, t. 156, p. 1825, et t. 157, p. 28) et après avoir défini les 

 quantités /(x), H(x, y), A9 et B f ,(j) par les égalités suivantes : 



rs = p — 1 



<h(x) — xPy{x) ■+- V a a x a ; 



C!=p— I 



//(,(*) = r K( - r ;- r) r/ 7 = .r/-/, (.r)+ 2 ^ n ; 



/(-<•) = 7.(x) -+- >-2 a ^ M*); 



K(.r,y) = .rMl(.r,y)-f- V * CT (y).^; 



TJ=© 

 13 ~p 



Bf>(7) = h(y)+ljh(x)K{x, j, X)rfx. 



3C(a?. y, A) désignant la résolvante de Fredholm relative au noyau H (a?, j) 

 au paramètre X et au champ I(e, yj). Le système linéaire (4) en a,, y..,, ..., 

 a,, permet de calculer ces fonctions de X. 



3° Désignons par X ç (x, j), Y ? (jt, y), Z 9 (x, y) les coefficients de xfi, 



y, x q y q dans K(x, y) et mettons en évidence les quantités U n = / -~ 



dans le système (4). Il s'explicitera ainsi 



(5) ai+lJBt(y)x(y)dy— «/,_«+ X^*? -/ 6 — ° (0 = o, 1, a, ...,/> — 1) 



7 = 1 



