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avec 



-il 



•I 



B e (*)Zrf(* > y)rf*rfy+5- == L = -U w E(p>(w) 



q — ro! 



et 



(7) 



ra = i 



E ^>= « pS^t-r/™ L^H . - 



Comme U CT e&t de degré gt — i en - et -, le système d'équations (5) 

 donne pour les quantités a. des quotients de deux quantités de degré 

 maximum i -f- 2 -K . .-t- p — 1 en - et -, le dénominateur commun et le 



1 E Y) 



numérateur de a, étant effectivement de degré p p 1 , les autres numé- 

 rateurs étant de degré inférieur; de plus, le coefficient du terme de 

 degré du dénominateur est de la forme p. + vlog-* f/. et v dési- 

 gnant deux facteurs méromorphes en X à limites déterminées quand £ et Y] 

 tendent vers zéro. Si donc, dans celte dernière hypothèse, log— tend 

 vers C, les quantités ou, a 3 , ..., a p tendent identiquement vers zéro et 

 a, tend vers une quantité de la forme _^ „ , M, N, P désignant trois 

 fonctions méromorphes de X bien déterminées. D'autre part, en vertu 

 de (3), '((x) tend vers une fonction homographique en C et méromorphe 

 en A 



(8) Ç(^)=x(*) + a/ x(x,y, *)x(y)<iy 



J a. 



M 



^j U(x) + lj X(.r, y, À) /,( y) dy\ , 



3C(;r, y, A) désignant la résolvante de Fredholm relative au noyau holo- 

 morphe H(.r, y) au paramètre X et au champ (a — (S); k(x) désignant la 

 limite linéaire en C de la fonction k { (x) définie ci-dessus. 



L'expression (2) de ç>(#) montre alors que sa limite, solution au sens 

 indiqué par M. E. Picard (voir E. Picakd, Annales de V Ecole Normale supé- 

 rieure, 191 1) de V équation intégrale linéaire de troisième espèce 



xP(D{j:) = <] l {.v)-hl K(x, y)o(y)dy, 



J a 



est une fonction homographique en C, méromorphe en X et x et admettant 

 comme seul pôle en x le pôle simple x = o. C. Q. F. D. 



