SÉANCE DU 17 JANVIER 1916. 121 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe de polynômes à une variable. 

 Note de M. Angelesco, présentée par M. Appell. 



i. Démontrons qu'il existe un polynôme P„(x) de degré sn en x, et un 

 seul, satisfaisant aux sn conditions 



X 

 L 



y l (x)P n (x)x<dx = o, 



P. 



cp 2 ( x ) P„ ( x ) x' dx r= O, 



/ ?s (x)P„(x)x-dx=zo 



J a., 



{i — o, i, 2, .. ., /i— ;o, 



les fonctions o,(x), <ft(x), ..., o s {.v) conservant des signes constants, 

 pour x respectivement dans les intervalles (a,, (3,), (a 2 , (3 2 ), ..., (a„ (3,), 

 et tous ces intervalles n'ayant aucun élément commun. Le cas s — \ est 

 connu et nous donne pour P„(#) un polynôme de degré n en x qu'on 

 appelle polynôme de Legendre généralisé. Dans le cas général que nous con- 

 sidérons, les conditions(i) nous fournissent inéquations linéaires et homo- 

 gènes du premier degré, qui nous donnent les sn -+■ 1 coefficients du poly- 

 nôme P„(x) à un même facteur constant près. Si un polynôme P, d'un 

 degré quelconque en x, satisfait aux n conditions 



X 



<£>y(x)Px l dxz=o (1 



il est facile de voir que ce polynôme P change au moins n fois de signe dans 

 l'intervalle (a Y , (3 Y ); donc l'équation P = o a au moins n racines réelles et 

 distinctes dans cet intervalle. Ceci nous prouve que l'équation P„(a?) = o 

 a toutes ses racines réelles et distinctes, n par n dans chaque intervalle 



(«n P.), (*« POi ■••»(«« P*)- 



Ces considérations nous permettent aussi de voir qu'il ne peut y avoir 



d'autre polynôme de degré sn satisfaisant aux conditions (1), car si P' n (x) 

 était un tel polynôme, le polynôme P n (x) -+- XP^(a:) satisferait aussi aux 

 conditions ( 1 ) ; en choisissant alors A de manière à annuler le terme du plus 

 haut degré dans ce polynôme, on arriverait au résultat ahsurde, qu'un 



