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polynôme d'un degré moindre que sn change au moins s fois de signe 

 entre deux limites de la variable. 



2. Désignons par X^(;r) le polynôme de Legendre généralisé, de 

 degré m, qui satisfait aux m conditions 



(fy(x)XJ„(3!)a:' rf.r = o (1 = 0, I, 2, . . . , m — i). 

 "ï 



On a évidemment s égalités de la forme 



P„(x) = X»,(a?) + «1 XJ,_, (*•) + «iXi^,(d») +. . . + «»,_„ Xi(«), 



p»(*) = x«,c*) + aîx; M (*) + «;x*^ I (*)+... s +««^ 1( x»(*), 



• * i 



P„ (a;) = X s ns (x) ■+■ a* X* s _, (.r ) + oc* XJ,_, (.r ) + . . . -+- x' as _„ X s „ (.r). 



En éliminant entre ces inégalités P n (x), on trouve s — i polynômes de 

 degré ns — i qui doivent être identiquement nuls; d'où Ton déduit les 

 ns(s — i) équations linéaires du premier degré qui nous permettront de 

 déterminer les ns(s — i) constantes a£. Donc le polynôme P„(a;) pourra 

 être déterminé lorsque l'on connaît les polynômes de Legendre généra- 

 lisés X;,(x) correspondants. 



3. Proposons-nous de déterminer le polynôme le plus général $(#), de 

 degré sn en x, tel que les développements suivant les puissances descen- 

 dantes de la variable des s fonctions 



ne contiennent aucune des puissances 



W,,. 



i i 



—s» • • ■ j — 



ar .a?" 



On trouve que le polynôme <P(#) cherché est celui qui satisfait aux con- 

 ditions (i). $(.») est donc précisément le polynôme P„(;r). 

 Posons 



a,, » f P, _ ,_. P.(*) -?<«(') .*. 



a>,-(.r)=r/ 9,(;) dz. 



J* x 



Les fractions rationnelles de même dénominateur 



4>,(.r) *,(*•) 4>,(.r) 



P„(^)' ?«(*)" "" P„(x) 



