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Je commence par généraliser la proposition ci-dessus, en démontrant 



n 



S„(.r) = «„-+- ^ A A .(.r) 



l'inégalité suivante : Soit 



une somme trigonoinètrique d'ordre n au plus, 5 M en valeur absolue sur un 

 segment quelconque (a, b); en prenant un segment (a', b') intérieur à (a, b), 

 de longueur aussi voisine de (b — a) qu'on voudra, il existe toujours une 

 constante positive G [dépendant seulement de (a', b')], telle qu'on ait 



|SÎ,(*)| = 



2*A*(») 



<MC« 



sur le segment (a',b'). 



En utilisant les inégalités de M. S. Bernstein, après quelques calculs 

 nous démontrons d'abord notre proposition pour les sommes trigonomé- 

 triques non complètes (des cosinus ou des sinus), en prenant un segment 

 quelconque (—h, -+- h). 



Pour démontrer l'inégalité ci-dessus, faisons la substitution 



X = \->rx', 



1 = 



Cela nous donne 



«o+ 2]A A (.r) = rt -l- ^[A,,(£)costa' — A A .(£)sinta']; 



par condition 



« + ^ [A A (£) costa'— A A (£)sinta-'J 



b — a 



M, 



sur le segment {—h, h), où h = 

 On voit bien que 



«o-t- ^A A .(£) costa' 



M 



et 



V A A .(£)sinta' 



M 



sur ( — h, -+- k). 



Donc, en vertu du précédent, en désignant par (— h', h') un segment 

 intérieur à (—A, A), de longueur aussi voisine de ih qu'on voudra, il 

 existe deux constantes positives C et C" [dépendant seulement de (—h', -+- h')] 



