SÉANCE DU 17 JANVIER 1916. 

 telles qu'on ait les inégalités 



123 



V/, \,.(l)sinkx' 



<MG'n ei 



> /. ' \/c(i ) cos&r' 



<MC"// 



sur (— h,ti). 



En faisant l'addition, nous en déduisons 



Y *[A*(£)sinfac' + K k (ï)coskx'] 



<M(C'4-C')/i= MC/i 



sur (— h', h'). 



En revenant de a;' à a; nous aurons l'inégalité cherchée. 



D'après le théorème bien connu de M. Borel sur les systèmes d'inter- 

 valles, il résulte de l'inégalité ci-dessus la proposition plus générale : 



Si dans l'ensemble parfait <£ de mesure p(p^>n) une somme trigonomé- 

 triqne d'ordre n au plus 



n 



/. = 1 



est <M en râleur absolue, il existe toujours un ensemble par/ait <$ { {une partie 

 de <P ) de mesure aussi voisine de p qu'on voudra et une constante positive C 

 (dépendant seulement de $, ) telles qu'on ait V inégalité 



S„(.r)| = 



2* A *(*) 



< MC/i 



dans l'ensemble <f, . 



En utilisant l'inégalité de M. S. Bernstein, M. Eejer a démontré le 

 résultat suivant (' ) : 



Si la série trigonométrique 



a + ^{a,, cos«.r + b n ïmnx) = a„ + \k n (x) 



n = l ;, I 



est convergente uniformément sur le segment o^xS-2~, la série conjuguée 



c -+- 7 ( a„ siii/ij- — />„ cos /(./') = c -t- 7 i A„(,r) 



n = I n = 1 



est convergente presque partout sur ce même segment. 



(') Journ.fur Math., t. (M. 



C. R., îgitj, 1" Semestre. (T. 162, Y 3.) 



! 7 



