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En utilisant l'inégalité généralisée, nous pouvons démontrer la propo- 

 sition beaucoup plus générale : 



Si la série trigonométrique dé Four ter d' une fonction à carré sommable 



est convergente dans l'ensemble 3K, de mesure m, m > o, la série conjuguée 



2 M*) 



C-f 



n = 1 



est convergente presque partout dans OR. 



En désignant par i„(x) la somme des n -h i premiers termes de la série 

 donnée, par i„{x), E„(,r) les sommes simples et la moyenne arithmétique 

 de la série conjuguée, nous avons l'identité de M. Fejer (' ) 



(A) 2„(^)^cr fl (a7)+^l. 



Il résulte du théorème démontré par M. Egoroff (") que la série donnée 

 est convergente uniformément dans un ensemble parfait <$ de mesure aussi 

 voisine de m qu'on voudra. 



Donc, à chaque t il correspond un nombre //„ tel qu'on ait dans 'S 



\s„(.v) — s„ a (.r) | <t pour n > ti u . 



En vertu de la formule (A), nous avons 



|3,,(.r)-o-,,(.r)|< K(j)l + l^^-^^'l'I. 



n -+- i 



4,.(-0 



rt H- 



<^l et en 



En choisissant n suffisamment grand pour qu'on ait 



appliquant l'inégalité démontrée, il en résulte 



|-«(J') - (7«(a;)| <t+ Ct — (i+C)( 



dans l'ensemble $, , lorsque n est suffisamment grand. Cela prouve 

 que a ;j (/r) converge en chaque point de T, où -„(•*') est convergente. 

 Donc <y „(■!') converge presque partout dans on., la série conjuguée étant une 

 série de Fourier d'une fonction à carré sommable. c. Q. F. D. 



(') Jouta, fur Math., t. Ikk. 



('-) Comptes rendus, t. 152, igii,p. 2:i4- 



