SÉANCE DU 24 JANVIER 1916. l5l 



V équation X'p 4- Y 3 = 1, p étant un nombre entier différent d'un cube, 

 n'a pas de solution en nombres entiers X et Y, si l'unité fondamentale du 

 corps il ( y'p) ri 1 est pas de la forme B '\Jp + ( '., et a la seule solution X = B, 

 Y = C, si elle a la forme B \/p -+- C. 



Je parle ici de l'unité fondamentale de Dirichlet a('\jp)~ -+- b'\lp-\- c, dont 

 les coefficients a, b et c sont des nombres entiers, n'ayant pas le même signe, 

 et dont les puissances à exposants entiers positifs et négatifs représentent 

 toutes les unités de la forme A(y/p)" + B \fp -f- C, dont les coefficients A, 

 B et C sont entiers. 



On voit que tout revient à calculer l'unité fondamentale a(<fp) 4- b\fp-hc, 

 ce qu'on peut faire par la méthode de Woronoï. 



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THÉORIE DES NOMBRES. — Sur les formes quadratiques binaires positives. 

 Note de M. Gastos Julia, présentée par M. G. Humbert. 



Soit 



ax 1 — 2 bxy -+- cy 2 



une forme positive réduite, on a 



a, c > o, ac — b- > o, 2|6|5a£c. 



On sait que les trois premiers minima propres de la forme sont 



a, c et a — ib -+■ c 



en supposant, ce qui ne diminue aucunenu'nt la généralité, 6^0. 



Dans sa Note du 17 mai io,i5 ('), M. Humbert établit les propositions 

 suivantes : 



i° Le quatrième minimum est a -4- ib -+- c, obtenu pour *== 1, y= — 1; 



2 Le cinquième minimum est !\a — \b ■+■ c, obtenu pour x = 2, y = 1 ; 



3° Le sixième minimum est le plus petit des deux entiers !\a -+- !\b -+- c 

 et a — \b -+■ l^c, obtenus respectivement pour x = 2, y = — 1 , et a;=i, 



y = 2 j 



4° Si le sixième minimum est le second, a — l\b -+■ 4c, de ces entiers, le 

 septième minimum sera le premier, l\a -+- l\b -+- c. 



Je vais donner de ces propositions une nouvelle démonstration. 

 ( l ) Comptes rendus, l. 160, 1 9 1 5, p. 647. 



