l52 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Soient x'Ox, y'Oy deux axes coordonnés ('), et figurons le réseau, 

 des points à coordonnées entières par rapport à ces axes. A sera le 

 point (a?=i,j = o),B(a; = o,j=i), C(a?= i,y=x), D(x= - i, v = -+- 1), 

 E(x = 2., y = i),F(x= i, y=— i), K(x = i,y = 2.). Les mêmes lettres 

 afTectées d'un accent : A', B', ... désigneront les points diamétralement 

 opposés à A, B, 



Envisageons l'ellipse variable £ 



ax* — ib xy ■+- cy* = P . 



Si t croît, elle s'enfle en restant homothétique à elle-même. 

 Interprétons les conditions de réduction : 



i° ib"S.a indique que le diamètre de la direction Ox traverse le seg- 

 ment BC plus près de B que de C ; 



2° ib"S.c indique que le diamètre de la direction Oy traverse AC plus près 

 de A que de C ; 



3° a<c indique que les points où l'ellipse coupe Oy sont plus voisins de O 

 que ceux où elle coupe Ox. 



Ceci posé, considérons l'ellipse de la famille qui passe par le point 



E(a; = 2, 7 = 1); 

 son équation est 



ax- — 2 bxy -+- cy- = l\a — l\b ■+■ c. 



Des propriétés élémentaires des diamètres d'une conique, et de leurs 

 propriétés i°et 2° qui correspondent ici aux conditions de réduction, il suit 

 que les prolongements des côtés du rectangle de centre O, de baseEF sont 

 tout entiers extérieurs à l'ellipse considérée. 



Remarquons aussi que K est extérieur à cette ellipse, car ses coor- 

 données (x = i,y=i) donnent à la forme ax- — ibxy -+- cy- la valeur 

 a — 4^-1- 4 e qui est supérieure & l\a — 46 + c; donc les prolongements des 

 côtés du rectangle d'axes Ox, Oy, dont Kest un sommet, sont extérieurs à 

 l'ellipse considérée. Par conséquent, C ne peut contenir (et elle les contient 

 effectivement), parmi les points du réseau, que les points A, B, C, D, leurs 

 symétriques par rapport à O et des points de Ox et Oy, qui ne sont plus 

 des points primitifs (les seuls points primitifs sur Ox, Oy étant A, B, et 

 leurs symétriques). De plus, à cause de la propriété i° des diamètres, on 



(') Pour la simplicité de l'exposition on peut les supposer rectangulaires, mais ce 

 n'est nullement indispensable. 



