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La méthode que j'ai suivie, outre qu'elle est élémentaire, a l'avantage 

 d'étudier en elle-même la chaîne de coniques, à laquelle on applique ensuite 

 la condition unique de fermeture. Celte méthode m'a donné les deux cas 

 de fermeture du triangle, qui ne se sont pas offertes dans l'analyse de 

 M. Darboux. 



Remarques de M. Darboux sur la Communication précédente. 



Dans la première des Notes que j'ai consacrées à l'extension du théo- 

 rème de Poncelet, j'ai indiqué comment la rencontre fortuite que j'ai faite 

 d'un cas particulier, dans une élude sur le mouvement d'une droite mobile 

 dont trois points décrivent les trois faces d un triédre, étude qui a commence 

 à paraître dans le numéro de janvier de cette année du Bulletin des Sciences 

 mathématiques, m'avait conduit à examiner le problème général. Il va sans 

 dire que j'aurais cité bien volontiers les recherches que M. Fontené a faites 

 en 1897 si je les avais connues. 



Dans la Communication précédente, M. Fontené adresse quelques cri- 

 tiques à ma solution. On peut y répondre, je crois, de la manière suivante : 

 Tous les éléments du problème sont exprimés en fonction de 2.11-hi 

 constantes a,, a.,, . . ., a 2 „, £ qui doivent satisfaire aux trois conditions sui- 

 vantes : 



(1 — À'sn 2 oC[)(i — k srrot 3 ). . .(i — A'sn 2 a,„_,) 

 (1 — k sn 2 « 2 ). . .(1 — k sn 2 a 2n ) 

 _ (1 -+- A-sn 2 «)), . .(1 ■+- k in- «,„_,) 

 ( 1 ■+■ k sn 2 a, ) . . . ( 1 -4- k bn ! «,„ ) 

 _ cn«, dna, en a 3 dn x, . . .cna 2 „_, dna.,„_, 

 en a, dna 2 cn« s dncZj. . . cna 2 „ dn y. 2 „ 

 et 



S, -+- X, -f- . . . -t- 2,„ = O. 



M. Fontené estime que j'aurais dû montrer que ce système n'est pas 

 impossible. 



Mais cela est très aisé à voir, et la preuve que le système n'est pas impos- 

 sible, c'est qu'on en aperçoit immédiatement un très grand nombre de 

 solutions. 



Rangeons, par exemple, dans un ordre quelconque, les a d'indice pair, 



«*/,, a*/,i ■ • • 



