SÉANCE DU 7 FÉVRIER 1916. 2l5 



et prenons 



et ainsi de suite. 



Le système (1) sera vérifié de lui-même. Ouant à l'équation (2), elle le 

 sera aussi si l'on a pris partout les signes - dans les relations précédentes, 

 ou bien elle exigera que la somme des doubles de quelques-unes des quan- 

 tités a d'indice impair soit égale à zéro. 



Les solutions précédentes forment des systèmes qui ne sont pas singu- 

 liers, et, par conséquent, on peut affirmer qu'elles seront accompagnées 

 d'une infinité d'autres systèmes de solutions. 



Au reste, je n'avais pas attendu pour me préoccuper de la solution du 

 système des équations (1) et (2). Prenons d'abord les deux premières, qui 

 assurent la fermeture de la chaîne des coniques, tandis que la dernière, 

 lorsqu'elle est ajoutée aux premières, assure la fermeture du polygone. 

 Posons 



| F(x) = {x — sn 2 a,)(.r — sn 2 a 3 ). . .{x — sn 2 a 2 „_,). 

 | 4>(a-) = (x — sn 2 a 2 ) (x — sn 2 a v ). ..(a? — sn 2 oc 2 „). 



Les deux équations (1 ) pourront s'écrire 



(4) 



'i.i '(-î */'<■>'* 



# (i) # (-î) v/*'"*(i 



Ce système peut être remplacé par les équations du premier degré 



'(i)= l *(î> "(-î, ,*, 



k 



(3) 



F(,)=^(o, F (i)='-£*(k 



dont la solution n'offre plus aucune difficulté. 



Il reste à résoudre à la fois les équations (1) et (2). On y parvient sim- 

 plement à l'aide du théorème d'Abel. 



Remarquons d'abord qu'on peut séparer les a de rang pair et les a de 

 rang impair. On remplacera ainsi le système des équations (1) et (2) par 

 les deux suivants : 



(6) 



î '-i 



v/ F(,)F (r-) : 



m m 



P 

 a, -t-.a, +-...-)- oc 2 „_, ■+■ fi =0 



