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el 



j = n — l i : = oc 



/ = 1 = 



/=» — 1 



+ 2 & ~ W fmj[c m (x, y)], 



1 = 



où c m (x,y) désignent les fonctions caractéristiques de V équation, et où les 

 jonctions 0'" et 0"' sont holomorphes dans un domaine contenant le point 

 considéré et le point x = a, y = b. 



Si la famille caractéristique 



c m (•*% y) — const. 



est simple, c'est la première des expressions de plus haut qu'il faut prendre; 

 si elle est multiple, d'ordre £<«, c'est la seconde, et si k = n, c'est la 

 troisième. 



Les fonctions f' mj et f l m , dont les indices supérieurs indiquent l'ordre de 

 dérivation [on a /°(a)=/(a)], ont des points singuliers x = a m: tels que 

 les équations 



c m (x, y) = a, n {m = i, 2, 3, — p) 



représentent les caractéristiques passant par le point au voisinage duquel 

 on représente l'intégrale. 



2. Nous allons appliquer maintenant cette proposition à l'intégration des 

 équations de la forme 



ax n * oy 



où le second membre est une expression linéaire des dérivées d'ordres infé- 

 rieurs à «, de u(x, y) et de cette fonction même et dont les coefficients sont 

 des fonctions analytiques quelconques de x et de v. 



Supposons que l'origine ne soit pas un point singulier fixe de l'équa- 

 tion (i). 



On pourra déterminer, comme dans le cas général, des intégrales 



/ '-• '=» '=" 



| V,(x. y)= 2 ^ ?y(y) + 2 2 ■*""''' / 5 '> (x ' * a) */(«>** 



;=0 ;=0 i = o ' " 



dépendant des fonctions arbitraires/} (a;) et ^(jk)- 



