SÉANCE DU 7 FÉVRIER 1916. 219 



Lesionctions b x u et % ne dépendent que de l'équation (1) et les expres- 

 sions (2) sont valables dans un domaine comprenant l'origine et indépen- 

 dant des fonctions fj(&) et Oj(y). 



Soit maintenant u(.r,y) une intégrale quelconque de (1) holomorphe à 

 l'origine. Si je choisis les fonctions fj(&) telles qu'elles représentent les 

 valeurs de u(.r,y) et de ses k — 1 premières dérivées par rapport à y 

 sur y = o, l'expression 



(3) u(x,y) — V x (x,y), 



qui est une intégrale de (1), sera déterminée avec des données nulles 

 sur y — o. Si donc on détermine \J y (oc,y) en prenant pour ? y (v) les 

 valeurs de (3) et de ses n — k — 1 premières dérivées par rapport à x 

 pour x = o, on aura 



(4) u{x,y) = V x {x,y) + Û y (x,y), 



qui représente toutes les intégrales de (1) holomorphes à l'origine, dans 

 tout le domaine 0, qui est indépendant des fonctions fj(œ) et Oj(y)- 



On a donc exprimé l'intégrale générale de (1) au moyen des fonctions 8* 

 et 0,' y , dépendant de l'équation. 1 



3. Si l'on avait k = n, l'intégrale générale (4) serait de la forme 



/ = n — 1 i — » 



où les /,'(&) représentent les données de Cauchy sur la droite non caracté- 

 ristique 



y = o. 



4. Dans le cas d'une équation du second ordre, les deux familles carac- 

 téristiques sont simples (cas hyperbolique ), et l'on a 



u(x,j )=f(x) + <?(y)-+y I [6%{x,y, *)/(«)+ 0f (x, y, «)/'(«)J^x 



•'0 



+ x / [e> {x,y,a)<?(cc)-i-9r(x,y, «)<?'(«)] dct. 



< )n voit donc que, tandis que l'intégration de l'équation du type hyper- 

 bolique exige la connaissance de quatre fonctions attachées à l'équation, 

 celle du type parabolique exige la connaissance d'une infinité de pareilles 

 fonctions. 



