25o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



même, la déformation \-p , ainsi que \w\, sont comprises, sur la circon- 

 férence \z\ = r (o < r< ï), entre des bornes positives dépendant unique- 

 ment de /• et nullement des coefficients a 2 , a 3 , . . ., a„, .... » 



J'ai réussi à déterminer les valeurs exactes de ces bornes, en sorte que le 

 théorème de déformation prend la forme définitive que voici : 



Lorsque la fonction analytique 



donne la représentation conforme du cercle |r|<^i sur r intérieur d'un 

 domaine simple D dans le plan des <v, on a, pour 1*1 = r et o <^r<^i, 



(,) (h7y< 



dw 



dz 





( 2 ) ,. r.l, <Kl< 



(i + r)» ^' ' ^(i — r)« 



5a m/" </a/i^ /e cas oà 



( 3 ) "'= (,_e»< 3 )' ( ar «el), 



/es bornes supérieures et inférieures étant alors atteintes pour z = re~ a 

 et z = — r~°" respectivement. 



Lorsque le domaine D es£ convexe, on a /es inégalités plus resserrées 



(6) 



/es bornes étant alors atteintes comme plus haut. 



Remplaçons, dans (3) et (6), s par se -0 " et <v par we~ ai ', le domaine D 

 devient, pour (3), le plan des w découpé le long de l'axe réel de — y 



jusqu'à — oo, et pour (6), le demi-plan où la partie réelle de w est supé- 



i , 



rieure a • 



2 



Pour la démonstration, je me sers de l'approximation du domaine D 



