SÉANCE DU l4 FÉVRIER 1916. 2.*)t 



par des polygones rectilignes, pour lesquels on a la formule de M . Schwarz 



(7) 



dz 



= (1 — e*> l !s)V->{i — e*.'*)*. . . (1 



:)V-m 



(V K = _ 2 ). 



dw 



dz 



Considérant, pour un m fixe, l'ensemble des valeurs de a,, ..., a,„, 

 a, ..., p m pour lesquels (7) donne la représentation conforme de |-|<i 

 sur un polygone simple (et dont le nombre des côtés est égal ou inférieur 

 à m, car plusieurs des a peuvent être égaux ou plusieurs des p. s'annuler), 

 je fais voir d'abord que cet ensemble est fermé. 



Faisons s = re 9 ' et regardons, pour un r fixe, l'expression — log 



comme fonction de ; sur l'ensemble fermé en question, celte fonction a un 

 maximum et un minimum dont la détermination se réduit à un problème 

 algébrique élémentaire. Dans ce problème il faut distinguer le cas où tous 

 les p sont négatifs, correspondant aux polygones convexes, du cas général 

 où quelques-uns des p. sont positifs. C'est pourquoi les domaines convexes 

 figurent à part dans l'énoncé du tbéorème. Ayant obtenu, par la voie indi- 

 quée, les bornes (1) et (4), il est facile d'écrire les conditions afin que l'une 

 de ces bornes soit atteinte pour une valeur particulière de /'. Ces conditions 

 suffisent à déterminer les coefficients de w, et l'on aboutit à (3) et (6). 

 Pour arriver aux bornes de | w\, faisons z — rê l et notons la formule 



(8) 



dw 



dz 



à\ 



dr 



à\»-\ 



de 



)'■■ 



pour un maximum ou minimum de \w\ sur la circonférence |s| = r, le 

 second terme à droite s'annule, d'où 



dr 



dKV 



dz 



A raison des propriétés élémentaires de la représentation conforme, il faut 

 choisir le signe •+- , et les bornes de | <r | s'obtiennent de celles de 



en les 



intégrant par rapport à r (entre les limites o et r). 



Dans un Livre récent, M. Study a introduit la borne de convexité : c'est 

 la borne supérieure des r tels que la circonférence |s | = r a pour image, 

 dans le plan des «', une courbe convexe. La méthode indiquée ci-dessus me 

 permet d'énoncer la proposition suivante : 



La borne de convexité de w = s ■+■ a 2 s l -{- . .. + a n z" -4- . . . est supérieure 

 ou égale à 1 — \/3, l'égalité n'ayant lieu que dans le cas (3). 



