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I. A cet effet, rappelons le troisième principe de construction de l'inté- 

 grale donnée par M. Denjoy. Soient *i? un ensemble parfait quelconque 

 situé dans l'intervalle \a, b] et S,, S„, ..., o,„ ... les intervalles contigus 

 de <$ dans [a, b\. 



Les intégrales de la fonction f (#) étant calculées pour tous les §,, soit co, 

 la borne supérieure des nombres 



IX 



f(x)dx 



lorsque ù' t est intérieur à §,-. Si la fonction f(x) est sommable dans y? et si, 

 de plus, la série S = £co, est convergente, on pose 



(0 



f f(x)dx=(±) f J\,)dx + \ f/(x)dx = (.0 ff(x)ax 



où (<.) / désigne l'intégrale au sens de M. Lebesgue. 



Pour que l'égalité (i) ait un sens précis, il ne faut que la convergence 

 absolue de la série du second membre; ainsi le procédé de M. Denjoy peut 

 être applicable sans que la condition plus restrictive de la convergence de 

 la série S soit remplie. Mais, comme on le voit aisément, en omettant cette 

 condition, nous ne pouvons pas, en général, être assurés que la fonction 

 obtenue comme intégrale indéfinie sera une fonction primitive, c'est-à-dire 

 qu'elle aura presque partout une dérivée égale à /(*')■ Ainsi la question se 

 pose de savoir si la convergence de S, qui donne une condition suffisante 

 pour que le procédé de M. Denjoy conduise à une fonction primitive, est 

 en même temps nécessaire"? Une analyse assez simple montre que non. 

 En effet, nous allons remplacer cette condition par une plus générale, qui 

 sera nécessaire et suffisante. 



A cet effet, soient M un point quelconque de 9 et <l n la distance entre M 

 et l'extrémité de o n la plus rapprocbée de M. Si l'on a 



llll) -j- = o, 



ll„=0 «» 



nous dirons que les intégrales s'annulent asymptotiquèment sur <r au point M . 

 En conservant tous les autres principes de construction de l'intégrale donnés 

 par M. Denjoy, nous remplacerons le principe déjà cité par la règle sui- 

 vante : « Si /(ce) est sommable dans T, si la série s qui figure dans (i) 

 converge et si, de plus, les intégrales s'annulent asymptotiquèment sur T 

 en presque tout point de <£, on pose l'égalité (i ). » 



