SÉANCE DU 2 1 FÉVRIER igi6. 289 



La modification tout à fait analogue de la troisième condition d'intégra- 

 bilité de la fonction /(x) est alors naturelle : quel que soit l'ensemble 

 parfait î, il doit exister une portion t. de <$ telle qu'en désignant par 

 S M & 2 , ...,o„, ... les intervalles contigus de - : i° la série s converge, et 2°les 

 intégrales s'annulent asymptotiquement sur - en presque tout point de -. 



Nous allons montrer que l'intégrale indéfinie obtenue par notre définition 

 a pour dérivée f(as) presque partout. Soit $(x) cette intégrale. Soit E un 

 ensemble mesurable quelconque de mesure non nulle. Il est bien connu 

 qu'on peut alors assigner un ensemble parfait <% possédant les propriétés 

 suivantes : 



i° Tout point de <S appartient à E; 



2° Tout intervalle contenant un point de <£ (les extrémités exclues) en 

 contient un ensemble de mesure non nulle. 



On peut aussi assigner une portion r. de <S possédant les propriétés sui- 

 vantes : 



i° f(x) est sommable dans -; 



2 Si l'on désigne par û,, 0.,, ..., o„, ... les intervalles contigus de-, la 

 série (3) converge; 



3° Les intégrales s'annulent asymptotiquement sur it en presque tout 

 point de t.. Considérons la fonction continue #, (.r), égale à $(x) dans «t 

 et linéaire dans les 2,-. Considérons d'autre part la fonction f,(x), égale 

 à /{oc) dans r. et à S\ (x) en dehors de u. On démontre que /, (.1?) est som- 

 mable dans tout l'intervalle entre les extrémités de it et que son intégrale 

 de M. Lebesgue est la fonction $<(x). Il en résulte que l'on a 



presque partout dans -. De l'autre coté, en se rappelant que les intégrales 

 s'annulent asymptotiquement sur u en presque tout point de r. il est aisé de 

 voir que la fonction W(x) = $(x) — <?,(■'') a une dérivée nulle presque 

 partout dans-. E étant un ensemble quelconque de mesure non nulle, le 

 théorème est évidemment démontré. 



Notre condition suffisante est aussi nécessaire. En effet, supposons pour 

 un instant que les intégrales ne s'annulent pas asymptotiquement en presque 

 tout point de - et considérons la fonction f.,(x) égale à /(x) dans - el à 

 zéro en dehors de -. Soit î 2 (x) l'intégrale de M. Lebesgue de/.,(.t). .Mois 

 on a f 2 (x) =/ 2 (.r) =/(a?) presque partout dans t.. D'autre part, la fonc- 

 tion §i{x) étant constante dans tout intervalle contigu de -, si l'on désigne 

 par <p(a?) la fonction ${x) — é t (x) nous aurons ^'{x)^o en presque tout 



