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point de - où les intégrales ne s'annulent pas asymptotiquement sur -, ce 

 qui démontre l'affirmation. 



Toute fonction intégrante au sens de M. Denjoy est inlégrable à notre 

 sens. Au contraire, il est aisé de construire des fonctions, intégrables au 

 sens indiqué plus haut mais non totalement. Soit;, par exemple, <P un 

 ensemble parfait de mesure nulle situé dans le segment [0,1 J. Considérons 

 une fonction continue $(x) égale à zéro dans $ et absolument continue dans 

 tout intervalle contigu de y?, et choisissons les valeurs de -T(.r) de sorte que 

 la série des oscillations de j(x)dans les intervalles contigus de 'ï soit diver- 

 gente dans tout intervalle situé dans [0,1]. Alors.toute fonction /(#), égale 

 à §'{x) en tout point où cette dérivée existe, satisfait, comme on le voit 

 aisément, à la condition désirée. 



2. Par analogie avec ce qui a été déjà fait pour l'intégrale de M. Denjoy 

 [voir la ÎNote de M. Lusin ( ')] nous indiquerons la propriété caractéristique 

 de l'intégrale indéfinie prise à notre sens. 



Disons que la fonction T( r) est absolument continue dans l'ensemble 

 mesurable E si, "quel que soit £ > o, on peut assigner un nombre cr > o tel que 

 la somme des oscillations de #(#) dans tout système dénombrable d'inter- 

 valles sans point commun et de longueur totale inférieure à ersoit inférieure 

 à e, l'oscillation n'étant considérée que dans l'ensemble E. Alors on a le 

 théorème : 



Pour que la fonction §( '■>■) dérivable presque partout dans l'intervalle (a, h ) 

 soit l'intégrale indéfinie (au sens indiqué plus haut) de sa dérivée, il faut et il 

 suffit qu'on puisse partager /'intervalle (a, b) en une infinité dénombrable 

 d'ensembles mesurables, dans chacun desquels $(x) est absolument continue. 



3. Peut-on trouver une définition plus générale de la dérivée, telle que 

 l'intégrale indéfinie obtenue par le procédé de M. Denjoy soit toujours une 

 primitive au sens nouveau? Voici une telle généralisation. 



Nous dirons que la fonction #(<r) continue ou non possède une dérivée 

 asymptotique au point .r , s'il existe un ensemble mesurable E de densité r 

 au point .;•„, tel que la limite 



X = .!■„ 



existe, le point .r restant toujours dans E. Cette limite est, par définition, la 

 valeur de la dérivée asymptotique au point a . 



(') Comptes rendus, t. 155, 1912, p. 1 47^. 



