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traduction française par A. Benoist, Gauthier-Villars, t. 2, p. 373); dans 

 ce cas, les courbes C, se confondent, les sommets du polygone décrivent 

 une cubique et ses cotés enveloppent une courbe T de seconde classe 

 décomposée en deux points. 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur tes réseaux plans qui peuvent, d'une 

 infinité de manières, être considérés comme la projection orthogonale des 

 lignes de courbure d'une surface. Note de M. C. Guichard. 



Soient M un point qui décrit une surface rapportée à ses lignes de cour- 

 bure, m la projection orthogonale de M sur un plan P que je suppose 

 horizontal. Le point m décrit un réseau plan qui, d'après mes notations, est 

 un réseau 2O. Le réseau m est la projection horizontale des lignes de cour- 

 bure d'une infinité de surfaces, savoir celles qui se déduisent de la surface (M) 

 par une translation verticale et leurs symétriques par rapport au plan P ; 

 je ne considère pas ces surfaces comme distinctes. Mais il peut se faire que 

 sur la verticale du point m on puisse trouver un autre point M, qui décrit 

 une surface rapportée à ces lignes de courbure'; dans ce cas particulier, le 

 réseau m est deux fois 2O. J'ai déjà signalé ce cas particulier (Comptes 

 rendus, t. 138, 1904, p. 258). 



J'étudie, dans cette Note, un cas plus particulier, celui où sur la verticale 

 du point m il y a une infinité de points qui décrivent des surfaces dont les 

 lignes de courbure se projettent horizontalement suivant les courbes du 

 réseau m, c'est-à-dire le cas où le réseau m est une infinité de fois 2 O. Tout 

 d'abord il y a une solution particulière qui est évidente a priori : il suffit de 

 prendre pour surface (M) une surface de révolution à axe vertical, ou plus 

 généralement une surface moulure engendrée par une courbe plane de 

 forme invariable dont le plan roule sur un cylindre dont les génératrices 

 sont verticales. Dans ce cas particulier, l'une des séries de courbes du 

 réseau m est composée de droites. Je laisse de côté ce cas particulier des 

 surfaces moulures. 



Je suppose d'abord que sur la verticale du point m il y ail trois points 

 M,, M 2 , M 3 qui décrivent des surfaces distinctes rapportées à leur ligne de 

 courbure, c'est-à-dire que le réseau (m) soit trois fois 2O. Soient ,r,,.r 2 les 

 coordonnées du point m\ z { , s 2 , z, les cotes respectives de M,, M 2 , M 3 . 

 On aura 



(1) dx\ +■ dx\ + dz\ = h*du*+Pdv'-, 



