3lo ACADÉMIE DES SCIENCES. 



u> étant une constante; on aura aloi> 



COS ffl =5 



(>-) 



V 



5i "9 = \/77^: 





On voit que, si a est donné, il y a une infinité de valeurs pour <\>; ce qui 

 revient à dire que si s, et z., sont donnés, il y a une infinité de valeurs 

 pour :- 3 ; donc: 



Si un réseau plan est trois fois 2< ), il est 2O d'une infinité rie manières. 



Le théorème s'étend naturellement par une démonstration analogue aux 

 réseaux trois fois 2O dans un espace d'ordre quelconque. 



Il est facile de trouver des surfaces possédant la propriété des surfaces 

 (M,), (M.), (M 3 ). On sait en effet qu'il existe une infinité de réseaux plans 

 (N), (N,), (N s ), (N 3 ), etc. associés entre eux et ayant une coordonnée 

 commune; soient r et v les coordonnées de JN, x et y, celles de N,. On aura 



i d.i- -t- dy- == Ir rf« 2 4- l l dv*. 

 (l2) I d&+âf\ — /rV; du*+ P \ ; di>\ 



x\ y,y t sont des solutions de l'équation (2). Je multiplie la première des 

 équations (12) par cos'-A, la seconde par sin-/i (h étant une constante) et 

 j'ajoute. On aura 



dx* -+- dy 2 cos ! h -h dy} sin 5 // = // 2 [cos 2 /> -+- Vf sin* A] du 1 H- / 2 [cos 2 /; + Vf sin'A] dvl. 

 Je pose 



.*•, = .(■. .;•,=: jcos/i. ;, = .)•, si" A. 



Le point M,-(£c,, a? 2 , s,-) décrit une surface rapportée à ses lignes de cour- 

 bure, et quel que soit i, la projection horizontale du réseau reste la même. 

 L'équation de Laplacefa) à laquelle satisfont les coordonnées du réseau 1VL 



admet les solutions 



,r--s-r 2 et x* + yf 



OU 



cos 2 // si 11 A 



Cette propriété caractérise les surfaces dont la représentation sphérique 

 des lignes de courbure est la même que celle d'une quadrique dont 



