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nombres 1,2, . .., n; les coefficients A ai0L «sont des fonctions continues, 

 ainsi que leurs dérivées partielles, de ces n variables, et la sommation est 

 étendue à toutes les combinaisons^ à /> des n premiers nombres. Le produit 

 symbolique dx 9m dx lt% ...dx tt représente le jacobien des variables x^x^ ...:x\ 

 par rapport à j> paramètres indépendants quelconques u n u 2 , ...,//,,. Si 

 l'on effectue un changement de variables 



œi = <?t(yi,fti /») (' = '. a n )i 



l'expression tn p est remplacée par une expression de même espèce 



-/. = ?B«,a,...a,,<r« 1 rf ra ) - ■ -«friy 



Il peut arriver que quelques-unes des variables y\, y 2 , .. ^jp ou leurs 

 différentielles ne figurent pas dans la nouvelle expression. La classe c de la 

 forme symbolique di p est égale au nombre minimum de variables au moyeu 

 desquelles puisse s'exprimer co /; par un changement de variables conve- 

 nable. Ce nombre se détermine au moyen des théorèmes suivants. 



Considérons, en même temps que m , la forme symbolique dérivée ta' p 

 de degré p -+- 1 , qui a pour expression 



to' p = 2 rfA a , as . Xr dx a , . . . ^=20,,,,,..^ , '/''a, f'<'a ; • • • dx afJ . t . 



A chacune de ces formes c^„, o>' on peut rattacher un système d'équations 

 aux différentielles totales 



// 

 (S) JE? A ai » 1 ... ap _ 1< d# / =ïo («,, « 2 «p_j==i,a, n), 



i= I 



( s ') zl ^«t*» V dxi=o (« t , <x a> . . ., ce, =i,2,...,/j), 



■ 1=1 



et ces deux systèmes sont des covariants de la forme co /; , relativement à tout 

 changement de variables. 



Le dernier système (S') est complètement intégrable, quelle que soit la 

 forme co /( . Si ce système ne contient que q équations linéairement distinctes, 

 le nombre q est égal à la classe de la forme dérivée »' . 



Le système (S) n'est pas en général complètement intégrable, mais le 

 système (S)-f-(S'), formé par la réunion des équations des deux sys- 

 tèmes (S) et (S'), est complètement intégrable. S'il comprend seulement 

 <j ■+- r équations linéairement distinctes, la classe de u> r est égale à q -+- r. 



Les variables qui figurent dans la forme réduite de to /( sont précisément 



'/ 



