SÉANCE DU 28 FÉVRIER 1916. Sty- 



les q -+- /• intégrales- du système (S) H-(S'). Mais ce système n'est pas un 

 système complètement intégrable quelconque, et son intégration peut dans 

 bien des cas être simplifiée. Par exemple, si /\>o, on intégrera d'abord le 

 système (S') qui est seulement d'ordre q. 



Voici comment cette notion de classe s'introduit dans la question que je 

 m'étais proposée sur les invariants intégraux. Soient 



(,) p=p=...= ^ = dt 



un système d'équations différentielles, où les fonctions \, ne renferment 



pas /, el 1,,= u> p un de ces invariants intégraux que j'ai appelés !£', qui 



restent des invariants intégraux quand on multiplie les dénominateurs 

 \,, ..., X„ par un facteur quelconque A(.r M ..., x n ). Si l'on suppose le 

 système (1) ramené par un changement de variables à la forme réduite 



( 9 1 c !l± — i^l — = c fr"-' — i>JL — di 



■ •o 01 



la forme symbolique u> p se change en une nouvelle forme symbolique où 

 ne figurent ni y„ ni dv„. Cette forme w,, est donc au plus de classe n — 1 , 

 mais peut être de classe inférieure à n — 1 . Dans les deux cas, les variables 

 qui figurent dans la forme réduite de w /( sont des intégrales du système ( 1 ), 

 et la détermination de ces variables n'exige que l'intégration d'un système 

 complètement intégrable d'ordre inférieur à n — 1, si co,, est de classe infé- 

 rieure à n — 1 . 



Dans le premier travail consacré à ce problème, j'avais montré que les 

 intégrales du système (S') étaient aussi des intégrales des équations (1). 

 Ce résultat était moins complet que celui que je viens d'énoncer, puisque 

 je ne tenais pas compte des intégrales du système (S) -+- (S'), qui n'appar- 

 tiennent pas au système (S'). 



Le seul cas où la connaissance de l'invariant 1^' semble n'être d'aucune 

 utilité, est celui où le système (S') se compose de n — 1 équations dis- 

 tinctes. Ce système est alors équivalent au système (1). Mais l'intégration 

 de ce système (S') peut présenter d'autres simplifications, que je ne puis 

 indiquer ici. Dans le cas le plus défavorable, si l'on a obtenu n — 2 inté- 

 grales de (S), on peut obtenir la dernière intégrale par une quadrature. 



Toutes ces questions feront l'objet d'un travail plus étendu. 



