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ACADEMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la déformation dans la représentation 

 conforme sous des conditions restrictives. Note de M.T.-H.Gronwai.i., 

 présentée par M. Emile Picard. 



En poursuivant le sujet de ma Note du 1 4 février 191G (p. 249), je consi- 

 dère le cas où le domaine D se reproduit par une rotation de — autour de 



l'origine. Les bornes de — et |ir| obtenues dans le cas général se 



resserrent maintenant de la manière suivante : 

 Lorsque la fonction analytique 



z-ha,;*-+- 



donne la représentation conforme du cercle |:r|<i sur l'intérieur d'un 

 domaine simple D dans le plan des <r, et que D se reproduise par une rota- 

 tion de — autour de l'origine, on a, pour |s | = r et o < r < 1 , 



(1 — e al z n ) n 



les bornes supérieures et inférieures étant alors atteintes pour z"=r"e~ ai 

 et z B — — r n e~ a ' 'respectivement. La borne de convexité est supérieure ou 

 égale à 



(4) 



' sj-), n- -h 1 — n 

 \ ' n — 2 



l'égalité n'ayant lieu que dans le cas (3). 

 Lorsque le domaine D est convexe, on a 



(5) 



(6) 



< 



C' dr 



( I+r »)ï 



dz 



< 



< M< 



I — I" )" 

 dr 



f 



» (l _ r -)« 



