SÉANCE DU 28 FÉVRIER 1916. 3 17 



sauf dans le cas où 



rfs 





-y 



' 1 — e*<;"/' 



les bornes étant alors atteintes comme plus liaut. 

 Pour n = 2, il faut remplacer (4) par — • Il es 



que si D présente la symétrie indiquée, w sera de la forme 



Pour n = 2, il faut remplacer (4) par — • Il est facile de voir d'ailleurs 



Le domaine 1) correspondant à (3) est une étoile à n coupures infinies 

 svmétriques autour de l'origine, tandis que pour (7), nous aurons un poly- 



gone régulier. 



Un problème tout autrement difficile se présente lorsqu'on se donne 

 a priori quelques-uns des coefficients de », comme l'ont fait MM. Landau 

 et Caratbéodory dans le tbéorème de M. Picard. En me bornant au cas 

 le plus simple où a.. = ae v (« > o) est donné, je trouve le résultat sui- 

 vant : 



Lorsque la fonction analytique 



w=z-+- ae' 8--H- a,z° 



donne la représentation conforme du cercle |;|<[i sur l'intérieur d'un 

 domaine simple D dans le plan des w, il faut que « = 2, et en dénotant 

 par r(a ), pour o'5a < i, la racine comprise entre zéro et un de l'équation 



1 ' + '" 



I02 ^ o. 



i+s(a-i);'+/' : 

 et par cos j3, pour o'S r'Sr(a), la racine positive de l'équation 



log- - = <\ 



1 — \tr cos(3 

 on a, pour |s| = reto<V<[i, 



(8) j ■"' ,,., < 



(1 — ,-)i-'"^ + "(, + ,■)- -'"•> 



dw 



777 



[pour a £ 1 el r5 ''(«)], 

 I -1- 21 a — i)/- -+- 1" 



pour a 1 el /-/('/; et pour 1 a •>. |. 



