3 I S ACADÉMIE DES SCIENCES. 



et 



I (pour/7<i), 



/■ . 1 



(9) ^ < "' < '1 2 — "1 ' + '" a 



1 — /• ' 2 (i — #•)» 

 ( pour 1 aS.2 ), 



ces bornes étant atteintes pour les fonctions w qu'on obtient en rempla- 

 çant r par se 1 ' et -^ ze Y ' dans les bornes supérieures et inférieures respecti- 

 vement. 



Lorsque le domaine D est convexe, il faut que a < 1 , et l'on a 



d\ 



(10) r< 



1 -+- 2 ar -+- /' a 



./; 



< 



1 vi — a 2 ./' 



(11) «rnfnng- 



\'l — a* 1 4- a/' 



ces bornes étant atteintes pour les w obtenus comme précédemment. La 

 méthode employée ne suffit pas pour donner la valeur exacte de la borne 

 supérieure de |<r| dans (9) lorsque «<i. 11 est facile cependant d'en 

 obtenir des expressions plus ou moins approchées. 



J'ai étudié aussi le cas où le domaine D est contenu à l'intérieur d'un 

 cercle de rayon donné, et j'y reviendrai ultérieurement. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Les fondions de liessel de plusieurs variables 

 exprimées par des fonctions de liessel d'une variable. Note de M. lî. 

 «Iekhowskv, présentée par M. Appell. 



Dans une Note des Comptes rendus (') M. Appell a attiré l'attention sur 

 les fonctions de Bessel de plusieurs variables; M. Pérès ( 2 ) a étudié ces 

 fonctions. Je mè propose de donner une formule générale exprimant, sous 

 forme de série, les fonctions de Bessel de n variables à l'aide des fonctions 

 de // — 1 variables. On pourra donc, de proche en proche, exprimer ces 

 fonctions par des fonctions de Bessel d'une variable. 



Soit 



i« 

 J/,(.r,, .r. 2 , .r 3 , . . . , .r„) — — / cos(/>'« — .r, sin u — as s sin 2 u — '. . , — x u sin/îw) du 



T - • « 



la fonction de Bessel de n variables. 



(') Comptes rendus, t. KiO. 1 g 1 5, p. 419. 

 (-) Comptes rendus, t. 101. iç>i5. p. 168. 



