320 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



THÉORIE DES NOMBRES. — Sur la réduction des formes quadratiques positives. 

 Note (') de M. Gaston .ïii.ia. présentée par M. Georges Humbert. 



Les caractéristiques suivantes des formes quadratiques positives réduites 

 sont aujourd'hui classiques. 



Soit, par exemple, une forme ternaire positive 



/ = ax- -t- a' y- -+- a" z 1 -t- 2 byz -+- 2 b' :x ■+■ 1 b" xy ; 



on sait depuis Diriclilet qu'elle équivaut à une réduite 



AX* 4- A' Y 2 + A" Z- + 2 BYZ + 2 B'ZX + 2 B" \Y. 



dont le minimum absolu A est donné par le système X = 1, Y = o, Z = o, 

 dont le deuxième minimum propre (c'est-à-dire fourni par un système où Y 

 et Z ne sont pas tous deux nuls) est A' et est fourni par le système X == o 

 lt =i, Z = o, dont le troisième minimum propre (c'est-à-dire fourni par 

 un système où Z ^ o) est A" et est fourni par le système X = o, Y = o, 

 Z==i. 



La considération des réseaux de points à coordonnées entières à trois 

 dimensions permet d'objectiver ces résultats. L'ellipsoïde f=t- qui cor- 

 respond à une forme réduite, lorsque t croît de o à -+- 00, s'enflera et dans 

 sa déformation homothétique passera d'abord par le point A à l'unité 

 de distance sur Ox, puis le premier point, hors de Oj-, rencontré, sera le 

 point B à l'unité de distance sur Or, puis le premier point rencontré hors 

 du plan j'Or sera le point C à l'unité de distance sur = . 



Un problème intéressant se pose dès lors : 



Etant donné, par exemple, une forme /positive ternaire quelconque, on 

 considère le réseau des points de l'espace à coordonnées entières. L'ellip- 

 soïde/^/ 2 en grandissant rencontrera un premier point A du réseau qui 

 fournit le minimum absolu de /, puis le premier point rencontré hors 

 de OA sera un point B qui fournit le deuxième minimum propre de/, puis 

 le premier point rencontré hors du plan OAB sera un point C qui fournit 

 le troisième minimum propre de/. 



Si nous démontrons que le déterminant des coordonnées des points A, 

 B, C est égal à 1, nous aurons directement la notion de réduite, car on 



(') Séance du 21 février 1916. 



