SÉANCE DU 28 FÉVRIER I916. 321 



pourra prendre A, B, C pour bases du réseau des points entiers, et la forme/' 

 se trouvera réduite par la substitution qui fait passer de l'ancienne base à la 

 nouvelle. 



Ia;m/,X H-/ 2 V -+- / 3 Z, /, m,/i, étant les coordonnées de \, 

 Y = »i,X -+- ni. 2 \ -+- m 3 7., /,«!./(, » 



s = »,X H- « S Y -h«,Z, t 3 m :t ;i.t » 



Cette conception de la réduction se trouve déjà dans Minkowski (approxi- 

 mations diophantiques, p. 1 1/| ). Il y est toutefois fait usage de moyens trop 

 compliqués pour la seule application que nous avons en vue; Minkowski 

 ne semble pas avoir vu non plus que cette question donnait la solution du 

 problème des octaèdres d'an réseau analytiquement traité par lui pages 97 

 et suivantes de son livre. Il est revenu sur la question des formes à/2 variables 

 dans sa Géométrie des nombres (applications) et il a donné une limitation de 

 la valeur du déterminant formé avec les coordonnées des points qui four- 

 nissent les premiers minimums propres. Cette limite peut être abaissée 

 quand on étudie les formes d'un nombre de variables peu élevé et qu'on 

 serre l'analyse de plus près. Nous le montrerons pour les formes quater- 

 naires. 



Voici la métbode géométrique qui donne aisément le résultat pour trois 

 variables ( ' ). L'ellipsoïde de la famille C, f= t' 1 , qui passe par C ne conte- 

 nant d'autres points du réseau que des points du plan OAB, l'octaèdre dont 

 lessix sommets sont A, B, C et A', B', C symétriques de A, B,C, par rapport 

 à l'origine, ne contiendra d'autres points du réseau que O, et ses sommets, 

 à son intérieur ou sur sa surface. Sur OABC construisons un parallélépi- 

 pède P; son volume sera égal au déterminant des coordonnées de A, B, C. 

 Comme il n'y a pas de point du réseau autre que O dans l'octaèdre 

 ABCA'B'C, il n'y en aura pas non plus dans chacun des huit tétraèdres 

 tels que OABC ayant pour sommet un sommet du parallélépipède P et 

 pour arêtes les arêtes issues de ce sommet. 



Le parallélépipède P ne peut donc renfermera son intérieur que des points 

 du réseau qui seraient intérieurs à l'octaèdre V dont les sommets sont les 

 centres des faces de P (iln'y en a sûrement pas sur la surface de P différents 

 des sommets). Mais F est homothétique de l'octaèdre ABCA'B'C par 

 rapport au sommet O' de P opposé à O et dans le rapport -• Si dans T il 



(') Pour deuK variables la méthode est enfiore plus simple, c'est pourquoi nous 

 l'omettons. 



C. R., 1916, 1" Semestre. (T. 162, N' 9.) 4-J 



