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existait un point u. du réseau distinct du centre co de 1' et de T, p.' symé- 

 trique de u. par rapport à to serait aussi du réseau. pp;' serait un vecteur dont 

 les projections seraient entières. L'homothétique M de p par rapport à O 

 dans le rapport 2 serait un point intérieur à l'octaèdre ABCA'B'C et OM 

 équipollent à u.' u. aurait ses projections entières; M serait un point du 

 réseau. Ceci est contradictoire avec l'hypothèse faite. Le seul point du 

 réseau qui puisse exister dans P est w. 



On voit donc, si l'on remarque que la démonstration subsiste, si à l'ellip- 

 soïde on substitue un corps convexe quelconque ayant son centre en O, que : 



1" Le déterminant D des coordonnées des points A, B, G est 1 ou 2; 



2 Ceci donne la solution du problème des « octaèdres du réseau » 

 ABCA'B'C dont les six sommets et le centre sont du réseau, et qui ne 

 contiennent à leur intérieur ou sur leur surface pas d'autre point du réseau. 



Il est facile de voir que l'hypothèse D = 2 est impossible dans le cas des 

 formes quadratiques. Effectivement, si co centre de P est du réseau, les 

 sept points qui sont centres des sept parallélépipèdes analogues à P et 

 adjacents à P en O, sont aussi du réseau. Or un des huit points ainsi obtenus 

 est toujours intérieur à l ellipsoïde £ qui passe par C. Car si l'on fait la substi- 

 tution (1) /devient 



F = AX 2 -+- A' Y 2 + A" Z ! 4- 2 BYZ + 2 B' ZX + 2 B"X Y 



(o< A<A'<A"). 



Les huit points précédents ont pour coordonnées 



X = -, Y=-, Z-- (£=±i,e' = ±i,e' = ±i)î 



222 



„/£ e' s"\ i „, , • A + A'-t-A"-H2B£'£"-t-2B'£"e + 2i; ;;' 



r — J — J — I — - r (£,£.£)= : • 



\2 2 l) 4 | 



La somme des huit valeurs possibles de 2Bc'î' -+- 2B'£"î + 2B"c£' est nulle. 

 Donc une de ces valeurs est négative ou elles sont toutes nulles. Ceci 



A + A'-h A" 

 suffit pour qu'un des huit points envisagés donne à F une valeur < -, 



et cette valeur étant inférieure à la valeur A" de F au point C, le point 

 correspondant serait intérieur à l'ellipsoïde i' qui passe en C; ceci écarte 

 l'hypothèse D — 2. Donc D == 1 comme nous l'avions annoncé. 



