SÉANCE DU 28 FÉVRIER IO,lb\ 323 



THÉORIE DES FONCTIONS. — Sur la puissance des ensembles mesurables B. 

 "Note de M. P. Alexandroff, présentée par M. lia dama ici. 



I. Le but de celle Note est de résoudre le problème suivant : « Déter- 

 miner la puissance de tout ensemble non dènombrable mesurable B. » 

 Ce problème m'a été posé par M. V Lusin, et c'est grâce à son concours 

 précieux que j'ai obtenu le résultat ci-dessous; quelques points de la 

 démonstration lui sont également dus. 



Soit E un ensemble I* de classe y. non dènombrable. D'après les beaux 

 résultats de M. Lebesgue, nous pouvons développer K en tableau à double 

 entrée 



EJ+EÎ + Ef-t-.. .+ !<:</,+..., 

 \ EJ + E[ - E* K..+ lv; +.... 

 (E) J " 



où l'ensemble donné E est la partie commune aux ensembles-sommes situés 

 dans les lignes borizontales du tableau (E). Il est important de remarquer 

 que la classe de tout ensemble E'*, soit a^|, est inférieure à a', c'est- 

 à-dire y. > y.J; r Si E'] n'est pas un ensemble fermé, nous pouvons le déve- 

 lopper en tableau analogue. Le terme général de ce sous-tableau, soit I. 

 est un ensemble F déclasse a'( ' inférieure à -/''. Si ce n'est pas un ensemble 

 fermé, nous pouvons le représenter par un nouveau tableau de terme 

 général E'|'|'| et ainsi de suite. 



Considérons une suite des ensembles déduits les uns des autres E'/' Iv 

 E?j';*J, ... : les classes correspondantes vont en décroissant, donc la suite ne 

 comprend qu'un nombre fini de ces ensembles. Nous serons arrêtés quand 

 nous arriverons à un ensemble fermé Ej 1 ,' J/ (A fini). Donc nous repré- 

 senterons, à l'aide d'une infinité énumérable d'opérations, l'ensemble 

 donné K par un tableau dont les éléments sont des sous-tableaux, et ainsi 

 de suit^. 



2. Cela posé, appelons produit d'ensembles donnés la partie commune à 

 ces ensembles. 



Formons le produit -, de n ensembles (n donné arbitrairement > 1) 



Bl =EÏ'K5 K, .1 ■ 



