32/j ACADÉMIE DES SCIENCES. 



où 7 - ,, r 2 , r.,, ..., /•„ constituent un système de n entiers positifs choisi arbi- 

 trairement. En remplaçant, dans ce produit -,, chaque facteur non 

 fermé E',, k par le produit de n — h -+- i ensembles E^'E^'. . . E^;;^^ 1 , tous 

 les s étant des entiers quelconques déterminés, nous déduisons du pro- 

 duit-, le second produit - 2 . En remplaçant, dans ce produit it 2 chaque 

 facteur non fermé E'^p par le produit de n — k,-+- i ensembles 



n"'* *ï'l E""I ': >1 |î"''< "'/ '» -u- • 



les/ déterminés, choisis arbitrairement, nous aurons le troisième produit ~ 3 

 et ainsi de suite. 11 est bien évident qu'en recommençant ainsi cette opéra- 

 tion, on finira par arriver à un produit ~ p , ( u. fini) dont chaque facteur est 

 un ensemble fermé. Ce produit t.^ étant un ensemble fermé, nous l'appelle- 

 rons ensemble fermé de n' e ""-' espèce. Tous les produits -„ que nous définis- 

 sons ont un nombre fini de facteurs à un nombre fini d'indices; ils for- 

 ment par suite un ensemble énumérable. Nous dirons qu'un ensemble 

 fermé -„ de ft"""' espèce est ensemble canonique de n 1 '"" espèce, si le pro- 

 duit E~, -j-.. .. . — u .contient une inlinilé non dcnombrable de points. Il est 

 clair que tous les ensembles canoniques "„ de n' eme espèce forment un 

 ensemble énumérable; nous pouvons donc les écrire de la manière sui- 

 vante : 



c 1 . e- e 1 



Si l'on fait varier le nombre n, on obtient un tableau à double entrée (e). 

 Nous dirons que ce tableau (e) est tableau canonique d'ensembles E. 



3. Considérons maintenant les propriétés du tableau canonique (e). 

 Chaque ensemble è'„ étant un des produits ~^, nous dirons que e£ est diviseur 

 régulier de è' m (m ^> n ), s'il y a parmi les facteurs du produit è' m tous les fac- 

 teurs du produit e' n . Nous dirons qu'une suite 



'-/n» *- n , 



(/(,< /(., < « 3 < . . . < /!/,< . . .) 



est chaîne régulière, si e'"- est diviseur régulier de el k t *' t (& = i, 2, 3, .. ..). 



La partie commune à tous les ensembles è'„[ (X- = i, 2, 3, ... ) d'une chaîne 

 régulière sera nommée noyau de cette chaîne régulière. 



Cela posé, le Tableau canonique (e) possède les propriétés suivantes: 



i° Le noyau de toute chaîne régulière est contenu dans E; 

 2° Tout point de E ( à une infinité dénombrable près) est contenu dans 

 un au moins des noyaux ; 



