SÉANCE DU 28 FÉVRIER 1916. 3a5 



3° L'ensemble e'„ < ■ tant donné, il existe, dans la (« 1 )"'"" ligne, un 

 ensemble e' n et un seul qui est un diviseur régulier de è' n \ 



4° Tout ensemble e* est un diviseur régulierd'un au moins des ensembles 

 eZ(m>n); 



5° Soi te* un diviseur régulier de é',;, ( //;> «); quel quesoit un ensembleM 

 non dénombrable de points de E (e'„ — <\'„ |, il existe toujours un ensemble 

 r' m ( V'^ v') contenant une infinité non dénombrable de points de M et qui 

 admet l'ensemble é'„ pour son diviseur régulier. 



4. Passons maintenant à la démonstration du théorème fondamental : 



Théorème. — Tout ensemble de points non dénombrable mesurable B con- 

 tient un ensemble parfait . 



Tout d'abord le théorème est évident s'il existe au moins une chaîne 

 régulière, dont le noyau ( toujours fermé 1 est non dénombrable. Passons 

 donc au cas où le noyau de toute chaîne régulière est dénombrable. 



Dans ce cas, quels que soient un ensemble e]', et un ensemble parfait - 

 contenu dans e'', et contenant une infinité non dénombrable de points de E, 

 il existe (en vertu de ;>°), dans 71, deux ensembles parfaits -,et- 2 sans point 

 commun et contenant une infinité non dénombrable de points de E, tels 

 que-, appartient à ë'„,{m>n), t:, à e' m ',(V'-=fc v'), -, e' m = o, Tz..t>''„ = o, 

 où é* m et eZ sont deux ensembles dont e'„ est un diviseur régulier. Nous 

 dirons que -, et r.., sont ensembles déduits de t.. 



Cela posé, prenons dans e\ un ensemble parfait - contenant une infinité 

 non dénombrable de points de E. D'après ce qui précède, nous pouvons 

 déduire de - deux ensembles it, et-.,; de l'ensemble ~ ai (a, == 1 ou 2) deux 

 ensembles ~ x |( et ~ a [S ; - aiix _(», = 1 ou 2 ) deux ensembles - a x , et z ïa , et 

 ainsi de suite. Le procédé se poursuit indéfiniment, de sorte qu'on obtient 

 une suite infinie d'ensembles parfaits : 



( ! ) ~x^~ a, a.-" 2, a. 3t,,i •■•>— a,a.a,- ••••ai- .... 



où y.,, y..,, a,, ... a A , ... est une suite infinie arbitraire d'entiers dont 

 chacun est égal à 1 ou 2. La partie commune X à tous les ensembles - de la 

 suite ( 1 ) appartient, d'après i", à l'ensemble donné E; l'ensemble de tous 

 les \ est évidemment un ensemble parfait contenu dans E, ce qui démontre 

 la proposition. 



