SÉANCE DU 6 MARS 1916. ^9 



triangle dont les calés ont pour longueurs /,, I.,, /.,, lu fonction 



(3) (w.-w',)^ 



est invariante. Dans toutes les expressions ci-dessus, lu différence w — o>' de 

 deux courbures de contact peut être remplacée par la fonction plus générale 



(4) eo sine -+- w'sino'-)- ci"sinep" 



des courbures de trois lignes concourantes cl des angles qu'elles font entre 

 elles, et l'on obtient ainsi autant d'invariants nouveaux. Les incariants (1) et 

 leurs généralisations (4) et (4 bis) appartiennent au groupe infini des trans- 

 formations isogonales ponctuelles sur le plan ou la sphère. 



Les seules transformations ponctuelles, sur le plan ou la sphère, par 

 lesquelles tout cercle devient un cercle sont les transformations du groupe 

 inversif. Les seules transformations de contact, sur le plan ou la sphère, 

 qui jouissent de celte propriété sont des combinaisons d'inversions et île 

 transformations parallèles, formant un groupe à 7 paramètres. Si par un 

 même point fixe o on fait passer une ligne arbitraire dont le centre c de cour- 

 bure en o peut prendre toutes les positions possibles dans le plan , le centre de 

 courbure C de la ligne inverse se déduit de c par une crèmonienne du troisième 

 ordre à 6 paramètres seulement, résultante d'inversions et d'une transfor- 

 mation conchoïdale. 



Le produit de la longueur d'un élément de ligne infiniment petit par la 

 variation de la courbure entre ses deux extrémités, soit < 



(5 ) ds. dtù, 



est un invariant inversif. An point d'intersection de deux lignes i — 2, le 

 rapport de leurs aberrations de courbure 



C') 



(Vf,!, _ (/'•>. 



est un invariant inversif. Si en un point deux lignes ont un contact du second 

 ordre, le rapport des courbures de leurs développées est un invariant inversif. 

 En un point quelconque d'une ligne, la fonction 



,/-■• 



ils t/'.i d',i ds 



es/ un invariant inversif. 



En (onction des rayons de courbure de la li^no et dé ses développées 



