35o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



première et seconde 



ds , dr „ dr 1 



ay d(o rt'v 



(dï, angle de contingence non invariant) les invariants ont pour expression 



/■' r 3 3/' s — rr" 



(6 bis) !:-i et ' ■ 



'•2 ''-2 /■' y 7 /''-' 



En coordonnées cartésiennes rectangulaires (7) s'écrit 



{i+y' ! )/'+(i+y , )(2r'vy-3r' 1 )+ iSy"v" 3 



(jter) 



[('+/ 2 )r'"-3/y" 2 V 



En frM/f point d'une ligne donnée, la râleur de V invariant (7) détermine 

 une courbe inversive ayant avec la ligne donnée un contact du quatrième 

 ordre; en certains points particuliers, le contact est du cinquième ordre ; ces 

 points de surosculation sont inversifs et déterminés sur la ligne donnée par 

 la condition 



(8) d 3 u>ds =fl?wA? 2 co ou d i sd(ù =dsd*s . 



L'intégrale générale de celte équation est, en prenant pour s une origine 



convenable, 



a h 



- H =: I . 



/■ S 



Elle représente les inverses de la spirale de liernoulli, autrement dit, les 

 lignes qui coupent sous un angle constant V tous les cercles passant par deux 

 points fixes. 



Ces lignes ayant deux points asymptotiques réels (P et Q) je les appel- 

 lerai dispirales inversives. Une spirale inversive se reproduit par une infinité 

 continue de transformations inversives : chacune de ces transformations résulte 

 de deux inversions simples dont les cercles directeurs O, et O a sont ortho- 

 gonaux, l'un passant par P et (). l'autre ayant son centre sur PQ. Klle se 

 reproduit aussi par une infinité discontinue d'inversions simples de chacun 

 de ces deux types. S'il existe un polygone de n côtés circulaires se coupant 

 successivement sur n dispirales de mêmes paies et faisant avec elles in angles 

 assignés, il existe une infinité continue de tels polygones. Tout cercle normal à 

 un cercle passant par P et Q est oscillateur à 1 dispirales d'angles ± V. Les 

 centres de courbure en un même point de toutes les dispirales de pôles P et Q 

 passant par ce point et d'angle V variable sont en ligne droite. L'équation 



