378 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



si l'ensemble 



./'(.') — /(*•) = * (•*" — ^o) = o (ni — £<), < m'-t-s) 



possède en x , des deux cotés ou du côté stipulé, une épaisseur inférieure 

 plus grande que x, le segment mm' étant de plus réduità ses limites strictes. 

 Ces définitions étant admises : 



Son! résolubles les fondions continues /', . /'.,. /'.., f\, /', possédant en tout 

 point respectivement : 



i° Une dérivée finie <l>, (.ri; 



2 f/« nombre dé-rive extrême fini, de côté et de rang inconnus et rariables, 



3° Une dérivée approximative finie <!>,( x 1 : 



\° Une dérivée <I>,(.r ) valable en tout point sur une épaisseur minimum plus 



grande que a. ^> - (égalité exclue), a pou\ mit d'ailleurs dépendre de r; 



V' Un segment dérivé fini sur une épaisseur minimum bilatérale ou unilaté- 

 rale supérieure à - (égalité exclue). Nous désignons par $ 5 (x) un nombre 

 quelconque de ce segment dérivé. 



I ne fonction résoluble /'possède les propriétés fondamentales suivantes : 

 1" R étant, s'il existe, un ensemble parfait non dense, admettant pour com- 

 plémentaire l'ensemble d'intervalles C, il y a une fonction finie *!>( x) qui est 

 sur une pleine épaisseur de C la dérivée exacte de /, et, sur une pleine épais- 

 seur de Iv, la dérivée approximative de f; i°j 'est la totale indéfinie de <\Hx), 

 en étendant, comme il est bien naturel, le calcul totalisant au cas où les 

 variations de /' sur les contigus à un ensemble parfait P forment une série 

 absolument convergente sans qu'il en soit ainsi des oscillations de /sur ces 

 contigus ('). 



(') M. kliinichine a donné ce résultat essentiel qu'une totale indéfinie admet 

 « presque partout » une dérivée approximative (ou exacte). Je montre de plus que 

 toute fonction résoluble est une totale indéfinie. Je réserve le nom de totatisnliort 

 complète à la première opération que j'ai définie {Comptes rendus, t. loï, 10,12, 

 p. 809). Formons un exemple de fonction f possédant une dérivée exacte sur une 

 pleine épaisseur r, d'un ensemble I' épais en lui-même (si P est mince, rj peut dispa- 

 raître), les oscillations de / sur ies contigus à toute portion de P formant une série 

 divergente. Soit E„ un ensemble de points de seconde espèce de P, E„ étant fermé, 

 inclus dans E„ +1 , et la réunion de È„ formant une pleine épaisseur r, de P. Soient o>", 

 les contigus de E„, u r ceux de P, d" la dislance de u„ à E„. Nous faisons f — 'o 

 sur P et choisissons comme il suit l'oscillation 0., de / sur 11.,. Avant opéré pour 

 q = 2.3^...,q, si « -t- m ij -h 1 . on attribue aux 11 ., situés sur w"', non encore pourvus 



