SÉANCE DU 1$ MARS 1916. 379 



Il suit de là que chacune des fondions /',(/ = 2,3,4j "> .) des types énu- 

 mérés ci-dessus est déterminée, à une constante, additive près, par la fonc- 

 tion <1>, correspondante et que cette dernière est sur une épaisseur pleine la 

 dérivée approximative de /,. En particulier une fonction f a possédant en 

 tout point un nombre dérivé fini *!». de rang et de côté inconnus etvariables, 

 est déterminée par <£ s (sauf l'addition d'une constante ) et possède <!>., pour 

 dérivée approximative sur une épaisseur pleine. 



Il v a identité entre la classe des fonctions résolubles et celle des totales 

 indéfinies, de même qu'il y a identité entre la classe des fonctions absolu- 

 ment continues et celle des sommes besgiennes indéfinies. 



Je signale l'impossibilité que dans la définition des /. l'inégalité a >- - 



puisse être remplacée par a - • J'ai formé une Jonc/ ion non résoluble admet- 

 tant en tout point une dérivée bilatérale finie sur une épaisseur minimum supé- 

 rieure ou égale à - ■ 



Parmi les propositions accessoires dont j'ai tiré parti, j'indique les sui- 

 vantes : 



A. Si la variation de /sur P est déjoue et égale à X, il existe un ensemble 

 parfait II inclus dans I' et sur toute portion duquel la cariât ton de J est définie 

 et du signe de A. 



B. La longueur de l'intervalle e„ tendant vers zéro quand n croit, s'il c.visle 

 un point y.„, intérieur ci 7,, et appartenant à P, si, de plus, l'ensemble des a , 

 est partout dense sur P, l'ensemble des points de P, inclus dans une infinité 

 d'intervalles a a , est partout dense et même n si duel sur P. 



C. /', ( .r. v), f 2 (.v, y). ... étant des fonctions continues en x et y sauf, 

 éventuellement, pour y = o, soient A,(ar), A, ( ,r ) respectivement les plus 

 petite et plus grande limites de /<(•£•, y) quand y tend vers zéro (.c étant 

 immobilisé ), soient /, et L, les plus petite et plus grande limites de /}( -/,,, li„) 

 pour n infini, l'ensemble x„ étant partout dense sur P, et h„ tendant vers 

 zéro : alors, sur un résiduel de P, on a simultanément 'l.i(-v) L,, /, A/i V i, 

 pour chaque valeur de i. 



il*un nombre 3. ei choisis dans l'ordre de leurs indices, des 3 égaux à <l' ' 



e q -+- 1 



jusqu a ce que la somme des 3» attribués ainsi sur ujf surpasse ////. 



Il convient d'ailleurs de ne pas oublier qu'une fonction possédant une < 1 ■ - > : 



donnée presque partout », admet encore au moins tonte l'indétermination de la 



fonction absolument continue la plus générale. 



