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Ce dernier énoncé s'applique, par exemple, au cas où les// sont respec- 

 tivement les variations relatives, les épaisseurs de certains ensembles sui- 

 des intervalles (a?,' x -+-y). 



Enfin, j'établis dans mon Mémoire qu'étant donnée une suite S d'opé- 

 rations du calcul totalisant, quelle que soit S, finie ou transfinie mais linu/cc 

 il est possible de construire des fonctions dérivées dont la primitive n'est 

 pas obtenue après épuisement de la suite S. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les nombres dérivés d'une fonction. 

 Note de M"' e Grâce Chisholm Young, présentée par M. Hadamard. 



I. Dans la définition des nombres dérivés d'une fonction quelconque, il 



faut tenir compte du fait que la variation relative =^— 'j — ; — — devient 



indéterminée si f(x -+- h) et f(x) sont tous les deux infinis avec le même 

 signe. Nous prendrons donc seulement les couples x et x -+- h pour lesquels 

 la variation relative a des valeurs déterminées, et nous considérerons les 

 limites de l'expression pour h positif (à droite) ou h négatif (à gauche), 

 quand h s'approche de zéro; ces limites sont les nombres dérivés, f + (x) (droit 

 supérieur), f+(x) {droit inférieur), f~(x) (gauche supérieur) et /_(.»•) 

 (gauche inférieur). Si l'on veut être encore plus précis, on les distingue 

 comme les nombres dérivés extrêmes, les nombres dérivés intermédiaires 

 étant les limites intermédiaires de la variation relative. Tous les nombres 

 dérivés sont donc déterminés en chaque pointa-, pourvu que la fonction 

 primitive /(x) ne soit pas constamment infinie avec un même signe dans 

 un intervalle, et nous aurons, d'après la définition, 



(i) /+(*)</■%*), /_(.r) = /(,r). 



Si x est un point où f(x) = 4-00, nous aurons 

 (2) / H .(.r)=/+(j?)= — oc, /_(*)=/-(*) = -H w, 



ce qui nous dit que f(x) possède une dérivée unilatérale infinie de chaque 

 côté, les signes des deux infinis étant opposés. Si f(x) = — =0, nous aurons 

 le même résultat, mais les signes des deux infinis sont changés. 



Pour une telle fonction générale nous avons le théorème suivant, que 

 j'avais déjà donné ( ') pour une fonction générale finie : 



(') Acta mathematica, 1. 37, i<)ia, p. i'i'i- 



