SKANCE DU l3 MARS 1916. 38 1 



THÉORÈME. — L'ensemble des points OÙ le nombre dérive supérieur pour l'un 

 des deux cé>tés es/ ///oindre que le nombre dérivé inférieur de l'autre côté se 

 compose de l'ensemble des points où la fonction primitive f(.v ) est i/i finie, et 

 peut-être d' un autre ensemble, qui est alors dénombrable. 



C'est-à-dire que, si ./• n'est pas un point où f(x) est infinie, nous aurons, 

 sauf dans un ensemble dénombrable de points, 



/+(*) if -(■>■)■ /_(*)</+<*). 



2. .Jusqu'à présent nous n'avons pas t'ait de restrictions sur la fonction 

 primitive, excepté qu'elle ne doit pas être constamment infinie avec un 

 même signe dans un intervalle. A présent nousintroduirons deux conditions, 

 (jui du reste, au point de vue mathématique, ne sont pas des restrictions 

 proprement dites : 



a). f(x) est une fonction mesurable ; 



b). /"(•») a des râleurs finies en des points formant un ensemble dense 

 partout de mesure positive. 



Pour une telle fonction nous avons trois théorèmes fondamentaux : 



Théorème I. — Vensemble des points où le nombre dérivé supérieur d'un 

 côté est -h m coïncide avec celui des points où le nombre, dérivé inférieur du cèle 

 opposé est — -r., ii une épaisseur /tulle près. 



C'est-à-dire que, 011 



_/"*"( x) = -+- ce, nous aurons f_(a;) — — x, 



f-(a:) = -hcc, » /,.(>> — — s.. 



et vice versa, sauf dans un ensemble de mesure nulle. 



Théorème 11. — L'ensemble des points où f(x) a d'un cette déterminé une 

 dérivée unilatérale infinie contient l'ensemble des points où la fonction primi- 

 tive f(x) est infinie : ces deux ensembles ont ta même mesure. 



Combinant ce théorème avec celui du paragraphe I, nous avons pour 

 notre fonction le théorème de Lusin : 



L'ensemble des points où f\ .*• 1 possède une dérivée f\ x) infinie est de mesure 

 nulle. 



THÉORÈME III. — L'ensemble des points où un des nombres dérives supérieurs 

 et un des nombres dérivés inférieurs sont finis et inégaux est de mesure nulle. 



C'est-à-dire, en tenant compte du théorème du paragraphe I, que les 



