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points où 



f+(x)==C, fH.t)=c\ OU f{.r)::C. f~ (x) ~ & (- *<C_< e'< +») 



formenL un ensemble de mesure nulle, et de même quand on change 4- en — , 

 et — en + . 



3. Ces théorèmes ont été donnés par M. Denjoy dernièrement poul- 

 ies fonctions continues ( '), et moi-même j'avais aussi donné le premier 

 théorème pour une fonction primitive continue. Les méthodes ou les 

 résultats de M. Denjoy peuvent être employés ici, mais les démonstrations 

 que j'ai choisies sont modelées sur celle que mon mari et moi nous avions 

 donnée pour le théorème de M. Lebesgue sur les fonctions monotones, où 

 l'on n'emploie pas la notion du transfini (-). 



La généralité des résultats repose sur une extension du théorème de 

 M. Lgorofl'( ') : 



Théorème. - Si une suite de fonctions mesurables converge pour tous les 

 points d'un ensemble T de mesure positive, on peut toujours enlever de 

 V ensemble T un ensemble de mesure aussi petite que l'on veut et tel que pour 

 l'ensemble complémentaire T' la suite est uniformément convergente. 



En suivant la voie indiquée par M. Lusin pour les fonctions finies presque 

 partout ( ' ), on trouve que notre fonction f( x ) a la propriété que dans 

 l'ensemble S des points où elle est finie, on peut toujours trouver un 

 ensemble parfait S' de mesure aussi voisine que l'on veut de celle de S et 

 tel que par rapporta l'ensemble S' la fonction /'(.r) soit continue. En restant 

 dans l'ensemble S' les méthodes valables pour les fonctions primitives con- 

 tinues conduisent aux démonstrations désirées. 



4. Ces quatre théorèmes fondamentaux nous donnent une foule de corol- 

 laires intéressants. Nous ne citons que le suivant : 



Une fonction f'(-r) mesurable, finie presque partout, dont les nombres 

 dérivés sont finis presque partout, possède une dérivée /'(&) presque partout. 



( ') Journ. de Math., -j" série, l. 1, 1910, p. 100-240. 

 ('-) Proc. London Math. Soc, 2 e série, t. 9, 1910, p. 32g. 

 ( 3 ) Comptes rendus, t. 152, 1911, p. 'ii- 

 {') Comptes rendus, l. 154, 1912, p. 1688. 



