4l6 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



des variables. La méthode dont je me suis servi porte cependant plus loin, 

 et je démontrerai ci-dessous que : 



Lorsque, pour un i aussi petit qu'on veut, cp(<j, Y], Q) est bornée pour 



\Ï\U, \MU, iC]<e, 



la solution générale de ( i) est donnée par (2). 



Soit 3p(o, o, o) = a et introduisons une nouvelle fonction 



(3) ?,(£, ri, £) = ?(;• n, O — «, 



évidemment bornée dans le voisinage £ de l'origine, en sorte que (1) prend 

 la forme 



(4) <»(£,*), Ç) + *i(|,-,ifi„Çi) =A(6 + Si, ïh-ï)i,Ç + Çi, ; 2 + Yi 2 +?- + ;; + -o; + :-., 



(5) œ, (o, o, o) = o, /, (o, o, o, o) = o. 



En écrivant l'équation (4) pour les arguments !j-f-i: r , jq-Hïj,, ^ -t- -, 

 et o, o, o, nous aurons, en vertu de (5), 



?i ( ; 4- ci. r, 4- ij„ Ç -+- O =/i [4' -H E„ r; 4- r,,, : -+- Ç„ ( ; 4- g, ) 2 4- (ï) 4- yj,) 2 4- (£ 4- :,)■]. 



et, en comparant à (4), nous voyons que si ÇÇ, 4- yjï), 4- 'Ç£, = o, nous 

 aurons 



TrU + Êj, »! + " r 'i» C + fi) = 9iU» r 'i ?) + ?i(;i- *in r, ). 



En particulier, pour !j, = «== 'C, = o, il vient 



?i(ç. ï)p si) = ?i(ç- o. o) 4- ?i(o, yj,, r,), 



et pour \ = H, = y], = '( = o, 



9,(0. Y), r,) = 9,(0, ï), o) 4- o,(o, o. £,). 

 Remplaçant yj , et Ç, par yj et 'Ç dans ces deu\ équations, nous aurons donc 



(6) <pi(£, Yj, Ç)= 9,(;. O, O) + 9,(0, Y), O) 4- <B,(o, O, ;). 



La combinaison de ( \ ) et (G) donne immédiatement 



(7) /,(; + ;,, ^ 4- y„, : + .:,, ^4-yi»4-Ç 1 4-ç*h-ti;h-Çî) 



=/i(?4-Çi,o,o,^ ! 4-£f) 4-/1(0, Yj-hY)„ o, Yr + Y,'f) -+-/,(<>, o. ; + :,. r- + :;i. 

 Introduisons les si.v nouvelles variables indépendantes 



(8) (* = *+*.. r = T»+n.. * = c+c 



( u ='*+£*, i»r=Y) ! 4-Yi;, *»' = Ç - -t- r f ; 



