SÉANCE DU 20 MARS IQlb\ 4*7 



pour que H, !;,, ... soient réels et|Ç|<e, | ;, |< s, ..., il suflit visiblement 

 que 



(g) x'<5«:2£ ! . J ! -2l'.2£ ! . 5 2 52n = 2E ! . 



Alors (7) prend la forme suivante, où /', g et h sont bornées dans le 

 domaine (9) et s'annulent à l'origine en vertu de (5), 



(10) /',(.''. y. --. 11 4- f+ w)=/(a?, m)+ s"(/i 0) + /«(=, »')• 



En permutant u et i>, ce qui est permis lorsque r 2 et y- ne surpassent pas 

 la plus petite de 2« et 2t , il vient 



(11) f(x, m + g(y, v) =/(.'-. v) +g(y, m, 



et en faisant y = o, v = s et écrivant #(0, u) = p(«)> en sorte que p( //) est 

 bornée dans (9) et p(o) = o, nous obtenons une équation de la forme 



/(*, «) = /(*) + p(«), 



où /y.r) est évidemment aussi bornée dans ( 9) et /(o) = o. Introduisant 

 cette expression de/(.r, //) dans (1 1), puis y faisant u = 1, nous aurons 



-IV. v) = g(jr)+ p(c), 

 et de la même manière 



/(.r, aj=/(*) + p(o), 



(12) ; A''/- 1' ) = .■?(.!') ■+- pi c)i 



( A( J s,«') = A(5) 



où les quatre fonctions à droite sont bornées dans (9) et s'annulent toutes 

 à l'origine. 



Substituant (12) dans ( 10) et faisant x = y ■=■ z —w = o, nous aurons 

 une équation de la forme p, (« +v) = p(«) + p^X et posant r = o, nous 

 voyons que p, («) = p( u ), d'où enfin 



1 S) p(tt+.«») = p(«) + p(«'). 



Or il est bien connu (jue toute solution p(«) de cette équation, bornée 

 pour o u :£-, est de la forme 



p(«)= eu. 



où c est constant (voir, par exemple, ni. la \ vi lée-Poussin, Traité d'Analyse, 



!" édition, t. I, p. 36). En écrivant 



(i4) ç»»(€, *i, r>=o,ii. r,. . - r,' : : ,. 



C. R.. 191G. 1" Semestre. (T. 162, N' 12.) ' ' 



