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de la double propriété : i° que tout point de R Xi V) . finisse, à partir d'une 

 valeur suffisamment grande de m, par être situé dans P!,'"v, : ; 2° que, pour 

 toute valeur de m, la région (nécessairement limitée) obtenue par l'adjonc- 

 tion à P',",'!,; des divers points semi-extérieurs à P,"' v . soit entièrement com- 

 prise dans P.^". 



Cela posé, on peut formuler les résultats suivants : 



I. Le système (1) ('tant linéaire par rapport à l'ensemble des fonctions 

 inconnues et de leurs dérivées premières (en d'autres termes, les fonc- 

 tions S, T étant indépendantes de ;/, v, w, et les fonctions U, V, W linéaires 

 en u, v, w), supposons que les divers coefficients du système (les S, T et les 

 coefficients des expressions linéaires U, V, W) soient analytiques et régu- 

 liers dans la région (R,. v z , I \s, 1 11 ), et qu'ils remplissent toutes les conditions 

 requises pour la passivité du système; supposons, de plus, que cliacune des fonc- 

 tions S, T admette, par rapport à chacune des variables s, t, que/que période 

 réelle. Cela étant, si l'on désigne par (,r , v , s ) un point pris à volonté dans 

 la région R^^., etparu(s,t), <p(s,;), «]/($,£) des fonctions données, analy- 

 tiques et régulières dans toute l'étendue de l'espace (réel) \\s, t\\, les intégrales 

 particulières du système ( i ) qui répondent aux conditions initiales 



u, v, w— \){s, t), 9(5, t), '|(.v, /) pour .r. y, : = .r , y„, s 



sont analytiques et régulières dans la région (R x (>r , 1 1 v, 1 1 h. 



II. Supposons (comme dans I) que les fonctions S, T, indépendantes 

 de u, v, ir, soient analytiques et régulières dans la région (R x , >. «> f[ 5 ' *J])' et 

 que chacune d'elles admette, par rapport à chacune des variables s, t, quelque 

 période réelle. Supposons, d'autre part, que les fonctions U, V, W (non 

 linéaires en u, v, w, contrairement à ce qui avait lieu dans I) soient analy- 

 tiques et régulières dans la région (R^,,,;, r[s,£|j, I \u, v, »»']]), et que cha- 

 cune d'elles admette, par rapport à chacune des variables u, v, \r, que/que 

 période réelle. Supposons enfin que toutes ces fonctions S, T, U, V, W, satis- 

 fassent aux conditions requises pour la passivité du système (1). Cela étant, la 

 conclusion de l'énoncé précédent ( 1 ) est encore applicable . 



On constate d'ailleurs aisément à l'aide d'exemples que cette conclusion 

 peut tomber en défaut, lorsque les conditions relatives, soit à la périodicité 

 des S, T dans le cas de l'énoncé I, soit à celle des S, T, U, V, W dans le 

 cas de l'énoncé II, ne sont pas toutes satisfaites. 



