SÉANCE DU 27 MARS 1916. 1 ><, 



THÉORIE DES NOMBRES. — Sur l'approximation des irrationnelles complexes. 

 Vote de M. Lester K. Fokd, présentée par M. (>. Humbert. 



I . Fractions d ' lier nu te. — Nous nous proposons ici d'exposer une méthode 

 de calcul et quelques propriétés des fractions introduites par Hermite pour 

 l'approximation d'un nombre complexe co. 



Soil 



I) F| / < I 1 ! - '.. VM ./■„- ■. 1. /. l Ko 



une forme quadratique définie d'Hermite : I « - -^ -*",.» ,v„. <•>„ sont les imaginaires 

 conjuguées de ce, y, co, et /< est réel. 



Si x = p, y = <y sont les valeurs complexes entières rendant F minimum, 

 /> : 'i sera une fraction d'Hermite et donnera, pour <•>, une approximation 

 mesurée par l'inégalité 



P 



(2) 



1 1 

 \ 2 77 



le svmbole | a | désignant le module de a. 



En faisant décroître k de x à o, on obtient ainsi une suite de fractions:, 

 tendanl vers co. 



1. Division de M. Picard pour le demi-espace. — On peut indiquer, pour 

 la méthode d'Hermite, une interprétation géométrique analogue à celle que 

 VI. Humbert a développée {Comptes rendus, décembre i<)i">t dans le cas 

 où w est réel. I Considérons en effet, dans le demi-espace où les coordonnées 

 sont *(=!;-+- iï] (et Ç, le pentaèdrell dont les faces latérales sont les quatre 



plans \ == ± -» yj = ± -» et dont la base esl sur la sphère ^ 2 + yj 2 4- Ç s 1 . 



Ce pentaèdre est le domaine fondamental classique du groupe bien connu 

 de M. Picard, joint à son symétrique par rapport au planï] = o; il comprend 

 donc deux domaines fondamentaux du groupe, et ses quatre sommets à 

 distance finie sont dans le plan -\± = 1. 



En prenant les symétriques de ll„ par rapport à ses faces et continuant 

 ainsi pour chacun des pentaèdres successivement obtenus, on partage le 

 demi-espace, au-dessus du plan ' = o, en pentaèdres H; chaque II a, sut 

 le plan £ = ou a l'infini, un sommet que nous appellerons sa pointe: 

 pour les II dont la pointe est à l'infini, les autres sommets sont dans le 

 plan £^2 = 1. 



