46o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Cela posé, si, dans la forme (1 ), k décroît de -x à o, le point représentatif 

 de cette forme, à savoir le point ; = co, £ = k, parcourt la droite z = co, de 

 x à 00, et passe de pentaèdre II à pentaèdre II : les fractions d'Hermite 

 successives sont les coordonnées complexes r des pointes des pentaèdres 

 successivement traversés. 



3. Calcul des fractions. — La première pointe est à l'infini; la seconde 

 est a, en désignant ainsi l'entier complexe le plus voisin de w. 

 Soient alors 



(3) 



des fractions consécutives d'Hermite; proposons-nous de trouver la fraction 

 suivante, P : Q. 



Admettons, ce qui est vérifié pour les deux premières fractions, qu'on 

 ait pq' — qp' — — 1 , et opérons la substitution 



(4) b'=£i=<, 



qz — <i< 



qui est dès lors du groupe de M. Picard : elle change les points z' = p ; q et 

 p : q' en z = 30 et o ; la droite z = w du demi-espace, avec le sens de <x> à co, 

 devient une demi-circonférence, 1, orthogonale à '( = o, et de sens déter- 

 miné; nous avons, pour calculer P : O, à chercher la pointe du pentaèdre 

 dans lequel pénètre 2, en sortant des pentaèdres dont les pointes sont à 

 l'infini. 



Le calcul ne conduit pas à des résultats simples; mais on peut observer 

 (pie, si l'on cherche le point d'intersection de 2 et du plan 'C \ji = 1 , sa coor- 

 donnée z est 



(.-») 'L -~('+ \ '— 2"«o), 



où u = q(qw — yj), et le pentaèdre qui contient ce point a pour pointe 

 l'entier complexe s le plus voisin de (5 ). 



Généralement cette pointe est celle cherchée, et nous pouvons alors 

 écrire, en vertu de (4), 



(6) P=ps-p>, Q = qs - q -, 



d'où Pq — O/) = — 1. Si P : Q ainsi défini n'est pas la fraction d'Hermite 

 qui suit p : q, on établit (pie c'est celle qui rient immédiatement ensuite, et, 



