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si p est le rapport de Om à OM et si a, (3, y sont cosinus directeurs pour la 

 normale en ch. Naturellement, (2) étant formé, il faut y écrire 



o. 



( )r p, défini par (4), est homogène d'ordre 1 en .-r, y, 3; par suite, les 

 expressions (3) sont homogènes d'ordre zéro et, dans (2), tout ce qui con- 

 tient X, Y, Z, p est homogène d'ordre — 3. Dans ces conditions, la formule 

 de Stokes (voir ma Note du 17 mai 1913) (' ) 



1/.1 dy dz 



(5) J X U? + ^ + S=) *■* + P* + 7«> * =j„ 



.r 7 

 F G 



permettra de remplacer (2) par une intégrale de ligne particulièrement 

 remarquable étendue au contour S de 1. C'est là, dans le cas général, un 

 raisonnement dont le type est dû à M. (i. Humbert qui, pour la sphère 

 transpercée par un cône quelconque, a donné la différence d'aires sphé- 

 riques <r 2 — a, sous deux formes correspondant aux deux membres de (5). 

 Dans mon troisième Mémoire consacré à la formule de Stokes ( Annales de 

 la Faculté des Sciences de Toulouse, 1 < ) 1 4 ), j'ai appliqué ces considérations à 

 diverses aires gauches. 11 reste encore beaucoup à faire, notamment quant 

 aux volumes. 



Si la surface F = o est algébrique d'ordre ni, le cône OS y découpe 

 m cloisons, d'où m valeurs pour p et m intégrales (2) dont la somme peut 

 donner un théorème abélien si le produit de $( X, "Y, Z) par le radical qui 

 suit est rationnel. Ainsi cela arrive, pour <ï> rationnel, sur les surfaces de 

 direction. Mais, en outre, les théorèmes abéliens en question semblent 

 exister naturellement pour maints volumes à définition simple. 



De plus, une fois que la somme abélienne d'intégrales doubles est mise 

 sous la forme du second membre de (5), elle devient comparable à des aires 

 planes projections du contour S sur les plans coordonnés. 



Je dois me borner, ici, à indiquer des résultats. 



A toute surface algébrique E on peut associer une famille de surfaces 



( ') Comptes rendus, l. ICO, 191a, p. 655. 



