46/4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Je suppose qu'il existe un nombre M tel que a„ = 0(n M ); il y a donc un 

 demi-plan de convergence absolue, et la série représente une fonction ana- 

 lytique 



/(*) =/(*+<*)■ 



On a étudié surtout les fonctions qui sont & ordre fini sur une parallèle 

 à l'axe des imaginaires. Supposons que /(s) est régulière pour <j><7 et 

 désignons par K = K.(t„') la borne inférieure des nombres \ tels que 



f(q+ti) = 0(\t\l), 



uniformément pour7 = o- , et supposons, déplus, que K<oc. Cela étant, 

 on dit que /(s) est d'ordre fini K pour a = <r . Les séries de telles fonctions 

 sont sommables (CY, c'est-à-dire parles moyennes de Cesàro; on sail, en 

 effet, d'après M. Harald Bobr, que la condition nécessaire et suffisante pour 

 que *La n n~ s soit sommable (C), pour i^>>j n , est que f'(s) soit régulière et 

 d'ordre fini pour n ^> cr . 



'2. Toute série sommable (C) est sommable (A) : la métbode d'Abel est 

 donc applicable à toutes les séries correspondant aux fonctions d'ordre fini, 

 mais son application en ce cas n'est jamais nécessaire. Au contraire, pour 

 les fonctions d'ordre infini, les méthodes de Cesàro, et les méthodes plus 

 générales de M. Marcel Riesz, sont en défaut. On a donc besoin de mé- 

 thodes plus puissantes, telles que la méthode d'Abel. 



Soit/'(.y ) régulière pour o-><r , et soit II = H(<7 () ) la borne inférieure des 



nombres c, tels que 



f{<T.-hti) = o{eb' 1 ), 



uniformément pour 7 a . J'appelle cenombre H Y indice de f(s) pour 7 = a„. 

 ( )n démontre sans peine que la fonction H(c) est nulle à partir d'une valeur 

 a, de cret qu'elle est, de plus, positive, décroissante, convexe et continue 

 ( tant qu'elle reste finie) pour 7 << t, . 



Kn faisant usage de la formule 



j^rr f ^- l (la n er ! "^^)dT, 



valable sous des conditions qu'il n'y a pas besoin de récapituler, on trouve 

 aisément que, si la série Ia„ est sommable (A), ht série Sfl„n"' est som- 

 mable (A) pour g ^> 7 . 



11 s'ensuit que le domaine de sommabililê ( A) est un demi-plan. On obtient 

 aussi le théorème : 



