SÉANCE DU 27 MARS 1916. |65 



1 . Si la série est sommable ( A ) pour n > <7„ . /*(.*) «/ régulière, et 1 1 1 7 1 -, 



D'autre part, en partant de la formule 



,K h ' , 



— : / y _ "T(a>/(î+ u)du, 



** K _ f __ 



,l\ t- / , 

 1— S <,— «.I 



où K désigne un nombre positif assez grand, et en suivant une marche qui 

 ne diffère pas, au fond, de celle que M. Litllevvood et moi avons suivie dans 

 quelques recherches récentes sur les nombres premiers ('), on aboutit au 

 théorème réciproque : 



II. Si f(s) est régulière, et H(VX -, pour 1 > cr„, la série est sommable (A) 

 pouro>a a . 



De ces deux théorèmes il résulte que le domaine de sommabilité ( A ) est !>■ 

 demi-plan dans lequel l'indice de la fonction est plus petit que -• 



3. On peut généraliser la méthode d'Abel en supposant que )La„c~ : ' \ 

 où A est un nombre positif quelconque, converge pour y > o et tend vers 

 une limite finie quand y tend vers zéro. Je conviendrai alors de dire que la 

 série Sa„ est sommable (A, X). On augmente la puissance de la méthode en 

 diminuant A. 



Les résultats de l'application de la méthode généralisée sont tout à fait 

 analogues aux théorèmes que je viens d'énoncer : il faut seulement rem- 



■ 7t 77 



placer- par — • 

 r ■>. r 2 A 



Tous ces théorèmes admettent aussi des généralisations pour des séries 

 E« B e~V d'un type quelconque. 



4. Considérons, par exemple, la série 



fis) = Xei"' Io E'»'*/i-* ([j. >o,'a>i). 



La série est absolument convergente pour <r^> 1 et convergente [jouit i ; 

 les droites de convergence et de sommabilité (Q coïncident dans la droite 

 n = 1 . La fonction/($) est entière et d'ordre infini si s < 1 \'-\. 



(') Voir une courte Note dans The Quarterly Journal of Malhemalics, t. 15, et 

 un Mémoire étendu qui va paraître dans les Acta matkematica. 



(■) J'ai donné les démonstrations de ces propositions dans The Tohoku Vlalhc- 

 matical Journal, t. 8. 



C. R., i(,iO, 1" Semestre. (T. If,?, N° 13.) 6l 



