SÉANCE DU '*> AVRIL IQlb. -|C,r> 



points à coordonnées entières. Lorsque // croit de o à -+- x l'ellipsoïde £, 

 f=u i s'enfle homolhétiquement, rencontre un premier point A, du 

 réseau, puis le premier point rencontré hors de la droite <»\, est un 

 point A.,, le premier point rencontré hors du plan OA, A 2 est un point A . : 

 enfin, le premier point rencontré hors de l'Iivperplan OA,A a A, est un 

 point A ,. Nous allons montrer que, sauf un ras douteux, le déterminant 1) 

 formé avec les coordonnées /,, m,, n , p t des points A, est égal à I ('). De 

 là nous conclurons que la substitution modulaire qui consiste à prendre 

 A,, A 2 , A s , A, pour points de hase du réseau A réduit la forme /' à uni- 

 forme équivalente 



(i) F(X, Y,Z,T)=AX> V/Y s A 7.- + A 'P 



+ 2B,YZ + aB,ZX+ -t: X 1 ! -li.VI 2B.YT4-2B.ZT, 



telle que A, A'. A . A sont se^ quatre premiers minima propres. 



En effet, par la substitution précédente, /" devient la forme F. Une 

 recherche précédente sur les formes ternaires positives nous assure que 

 trois quelconques des points A,, A s , A :1 , A, sont des points de hase du 

 réseau que découpe dans le réseau des points à coordonnées entières 

 l'hypeiplan de ces trois points et de (>. Si, en cherchant à construire 

 tous les réseaux A dont A,, A 2 , A :1 sont trois points de hase et qui con- 

 tiennent A 4 tels, en outre, qu'aucun point d'un tel réseau A ( hors de 1 h\- 

 perplan OA,A 2 A s ) ne tombe dans l'ellipsoïde £, qui passe par A., nous 

 trouvons (pie A. doit être nécessairement le quatrième point de hase du 

 réseau A, nous conclurons, en toute certitude, D = 1. 



Voici les principes de cette recherche: elle sera développée dans un 

 Mémoire ultérieur. * 



Pont réseau ,f; dont A,, A 2 , A :1 sont trois points de hase et contenant A. 

 s'ohtient en considérant le réseau II à trois dimensions, d'origine A.,, dont 

 les vecteurs de base sont équipollents à OA,, OA a , < >A,, joignant O à un 

 point arhitraire co du réseau R, puis, faisant choix d'un nombre n, en 

 prenant pour quatrième point de base du réseau A le point a A .„ du seg- 

 ment Oo) tel (lue 1" = -; n prenant toutes les valeurs entières et co décri- 



vant R, on aura tous les réseaux Si. 



(') Il est entendu que lorsque i' rencontre un point A ( -, il rencontre en même temps 

 -on symétrique A^ par rapport à 0. On peut profiler de celte circonstance pour rem- 

 placer, si c'est nécessaire, \. par A, et rendre l> « - _: ; 1 1 à ■+- 1. 



